2013-四川卷文-17 解-解三角形与投影

本题导读

本题考查两角差的余弦公式。核心在于条件化为、余弦定理求第三边的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin (A+C)=-\frac{3}{5}$.

(1)求 $\sin A$ 的值；

(2)若 $a=4\sqrt{2}$，$b=5$，求向量 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的投影.

🔍【思路分析】

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1. 由 $A+B+C=\pi$ 得 $A+C=\pi -B$，故 $\sin (A+C)=\sin B$。
2. 左边化为 $\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin B$，是两角差余弦，合并为 $\cos A=-\frac{3}{5}$。
3. 由 $A\in (0,\pi )$ 取 $\sin A>0$，得 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}$。
4. 第 (2) 问：余弦定理列 $c$ 的方程，投影 $=|\overrightarrow{BA}|\cos B=c\cos B$，再用余弦定理求 $\cos B$。

✅【答案】

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(1)$\sin A=\frac{4}{5}$；(2)所求投影为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $A+B+C=\pi$，所以 $A+C=\pi -B$，从而 $\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B.$ 于是题设左端 $\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin B=\cos [(A-B)+B]=\cos A.$ 故 $\cos A=-\frac{3}{5}$。又三角形内角 $0<A<\pi$，故 $\sin A>0$， $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$ （2）由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，代入 $a=4\sqrt{2}$，$b=5$，$\cos A=-\frac{3}{5}$： $32=25+c^2-2\times 5\times c\times \left(-\frac{3}{5}\right)=25+c^2+6c,$ 即 $c^2+6c-7=0$，解得 $c=1$ 或 $c=-7$。由于 $c>0$，取 $c=1$。 向量 $\overrightarrow{BA}$ 在 $\overrightarrow{BC}$ 方向上的投影为 $|\overrightarrow{BA}|\cos B=c\cos B.$ 再由余弦定理 $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{32+1-25}{2\times 4\sqrt{2}\times 1}=\frac{8}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ 所以所求投影为 $1\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：内角和化简三角条件、余弦定理与向量投影

核心方法：由 $A+C=\pi -B$ 得 $\sin (A+C)=\sin B$，左边化为 $\cos [(A-B)+B]=\cos A=-\frac{3}{5}$ → $\sin A=\frac{4}{5}$；余弦定理得 $c^2+6c-7=0$，$c=1$，投影 $=c\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$

避坑指南：$\cos (A-B)\cos B-\sin (A-B)\sin B$ 恰是两角差余弦公式，合并为 $\cos [(A-B)+B]=\cos A$；投影是数量 $|\overrightarrow{BA}|\cos B$（可为负），不是 $|\overrightarrow{BA}|\cos A$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角条件化简 + 余弦定理 + 向量投影的复合考法，与 2013 天津文 16 的”边角互化”题同型。

结论推广：若条件形如 $\cos (\alpha -\beta )\cos \beta -\sin (\alpha -\beta )\sin \gamma$，先把 $\gamma$ 用内角和换成与 $\beta$ 配套的角，再合并为一个余弦；投影的通用式是 $|\vec{a}|\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$。

方法推广：解三角形中”边”与”角”信息的取舍：已知一角及其对边时优先用余弦定理定第三边，再从余弦定理（而非正弦定理）求第二角，可规避锐钝歧义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2013-安徽卷文-09 单-解三角形求角
• 2013-大纲卷文-18 解-解三角形求角