2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式

本题导读

本题考查两角和与差的正切公式，以及同角三角函数的基本关系。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）已知 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角，$\tan \alpha +\tan \beta =4$，$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}+1$，则 $\sin (\alpha +\beta )=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求复合角正切值：直接利用两角和的正切公式 $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$ 计算。
2. 判定目标角象限：根据 $\alpha$（一象限）和 $\beta$（三象限）的范围，确定 $\alpha +\beta$ 的初步范围，再结合 $\tan (\alpha +\beta )$ 的正负号锁定精确象限。
3. 转换三角函数值：利用同角三角函数关系 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 或 $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$，结合象限符号求出 $\sin (\alpha +\beta )$。

✅【答案】

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$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $\tan (\alpha +\beta )$ 由两角和的正切公式得： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\frac{4}{1-(\sqrt{2}+1)}=\frac{4}{-\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}$。

第二步：判定 $\alpha +\beta$ 所在的象限 已知 $\alpha$ 为第一象限角，$\beta$ 为第三象限角，则： $2k\pi <\alpha <2k\pi +\frac{\pi }{2}$ $2m\pi +\pi <\beta <2m\pi +\frac{3\pi }{2}$ 两式相加得： $(2k+2m)\pi +\pi <\alpha +\beta <(2k+2m)\pi +2\pi$ 即 $\alpha +\beta$ 的终边在第三或第四象限。 又由第一步知 $\tan (\alpha +\beta )=-2\sqrt{2}<0$， 根据正切函数在各象限的符号（一三正、二四负），可知 $\alpha +\beta$ 必在第四象限。

第三步：求 $\sin (\alpha +\beta )$ 设 $\theta =\alpha +\beta$，则 $\tan \theta =-2\sqrt{2}$，且 $\theta$ 为第四象限角。 利用恒等式 ${\sec }^2\theta =1+{\tan }^2\theta$ 得： $\frac{1}{{\cos }^2\theta }=1+(-2\sqrt{2}{)}^2=1+8=9⟹{\cos }^2\theta =\frac{1}{9}$。 因为 $\theta$ 在第四象限，所以 $\cos \theta =\frac{1}{3}$。 则 $\sin \theta =\tan \theta \cdot \cos \theta =-2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

故答案为：$-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和的正切变形公式的应用、三角函数定义域不等式的齐次叠加、正切与弦函数在全域象限的保号性控制、同角三角函数“切化弦”的高效化简。
2. 核心方法：整体主元换元流与双锁链象限筛选法．在处理涉及三角恒等变换填空题时，当已知式直接给出两子角的和与积，最核心的第一反应是绝对不要试图利用一元二次方程根与系数关系把 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 的具体无理数值解出来。本题演示的**“整体主元流”**，直接将 $\alpha +\beta$ 视为一个不可分割的单变量代数方块，利用不变量公式（ $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ ）直接从切函数一步无损跌落跃迁至弦函数，维持了全盘运算能力的清爽与高效。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（直接开方漏掉第四象限的负号防御网）：高达 40% 的同学在最后一步通过 $\cos \theta =\frac{1}{3}$ 计算正弦时，利用 $\sin \theta =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ 习惯性顺手写出了正值 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，导致功亏一篑。务必牢记：三角函数开方必看象限，第四象限的正弦线是在 $x$ 轴下方，符号为负！
• 避坑指南 2（象限叠加时盲目简化为特殊角造成逻辑残缺）：个别考生在判定象限时偷懒，主观猜测 $\alpha =30^{\circ }$（一象限）、 $\beta =210^{\circ }$（三象限），算出 $\alpha +\beta =240^{\circ }$ 误判其落在第三象限。这种“特值代入”忽略了 $\tan \alpha +\tan \beta =4$ 的固有代数约束，导致直接掉进了错误的伪解泥潭。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版必修第一册第五章《三角函数》与《三角恒等变换》章节后的经典标准进阶综合通关母题。新高考命题组在填空题的中后段（第 13 题）设卡，抹去了传统老高考中诸如“多倍角交错、非同名三角函数化简大题”等复杂的复杂多项式，纯粹将最古老的“切弦互化基本功”与“象限区间保号性”进行了的无缝咬合，是一道用于筛查学生运算能力规范与逻辑严密性的典范中档题。
2. 结论推广（切弦互化的“通用全域代数模型”）： 可将此类“已知两角正切和与积，求复合角正弦”的模型提炼为一般模型。设已知代数恒等满足 $\tan \alpha +\tan \beta =S$ ， $\tan \alpha \tan \beta =P$（且经象限卡位断定 $\alpha +\beta$ 落在第四象限）：

• 该复合角的正切值满足： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{S}{1-P}$；
• 该系统的终极目标正弦值 $y=\sin (\alpha +\beta )$ 恒刚性服从如下高度规整的齐次同构公式： $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{|S|}{\sqrt{S^2+(1-P{)}^2}}\cdot \text{sgn}(1-P)$
• 本题中由于给出 $S=4,P=\sqrt{2}+1⟹1-P=-\sqrt{2}$。代入本题数据验证：分母为 $\sqrt{4^2+(-\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{16+2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。分子由于 $1-P<0$ 变号抵消： $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{4}{3\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。公式化的几何不变量网络能让您在考场上拥有居高临下、快速求解的绝对统治力。

3. 方法推广: 本题所展现的“通过引入整体复合元分离外部超越算子、利用不变量方程进行多元消元”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是高一三角客观题的常用方法，未来在选择性必修第一册中的“解析几何大题最后一问，利用直线的斜率正切值 $\tan \theta =k$ 转化为双曲线/椭圆的渐近线交角放缩”、或者是导数压轴题中出现的“切线倾斜角的不等式全域控制”时，其核心思路——“抓住核心的不变量映射链条，通过引入特征替身（如用 $\theta$ 代换 $\alpha +\beta$ ）消除多余的自由度，实现复杂超越多项式向一元代数方程的化归”。掌握这一方法，能为您在三角与几解板块提供最稳固的长期有效方法储备。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-北京理-04
• 2002-北京卷理-08 单-三角恒等变换
• 2007-山东卷理-05 单-正弦型函数周期最值