2013-大纲卷理-14 填-排列与组合的综合应用

本题导读

本题考查排列组合，以及排列与组合的综合应用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 $\underline{}$ 种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. 模型识别：题目要求“甲、乙两人不相邻”，这是典型的排列组合不相邻问题。
2. 选择方法：
   • 插空法（推荐）：先安排除甲、乙之外的其他 4 个人，产生间隙后再插入甲和乙。
   • 间接法：用总的排列数减去甲、乙相邻的排列数。
3. 步骤分解（以插空法为例）：
   • 第一步：将除甲、乙外的 4 个人进行全排列。
   • 第二步：4 个人排好后，会产生 5 个空位（包括两端）。
   • 第三步：从 5 个空位中选出 2 个位置安排甲和乙，且甲乙有顺序区别。

✅【答案】

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480

✍【详细解析】

Abstract

方法一：插空法

1. 排其他 4 人：除甲、乙外的 4 个人全排列，方法数为 $A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$ 种。

2. 插入甲和乙：4 个人形成的 5 个空位如下图所示（用 $◯$ 表示空位，$\square$ 表示已排好的人）： $◯\square ◯\square ◯\square ◯\square ◯$ 从 5 个空位中选 2 个安排甲、乙，方法数为 $A_5^2=5\times 4=20$ 种。

3. 计算总数：根据乘法原理，总排法为 $A_4^4\times A_5^2=24\times 20=480$ 种。

方法二：间接法（排除法） 4. 总排列数：6 个人全排列为 $A_6^6=720$ 种。 5. 甲乙相邻排列数：将甲、乙“捆绑”看作一个整体。

• 整体内部甲、乙全排列：$A_2^2=2$ 种。

• 整体与剩余 4 人进行全排列：$A_5^5=120$ 种。

• 相邻总数：$2\times 120=240$ 种。

3. 计算结果：$720-240=480$ 种。

故答案为：480。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不相邻问题的标准处理策略——插空法。

核心方法：“先无后有”。先处理没有特殊要求的元素，再处理有特殊要求的元素。

避坑指南：- 插空时，空位总数等于先排人数加 1（即 $n$ 个元素产生 $n+1$ 个空）。 - 确认甲乙是否有顺序。由于是“排成一行”，顺序不同视为不同排法，故用 $A$ 而非 $C$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：乘法原理、分步计数、圆排列。

结论推广：若 $n$ 个人中 $m$ 个人互不相邻，要求 $n-m\ge m-1$。

方法推广：遇到“必须相邻”用捆绑法；遇到“不相邻”用插空法；遇到“定序问题”用除法消序法或空位法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

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