2014-上海卷文-20 解-反函数与奇偶性

本题导读

含参分式指数函数的两问：第(1)问反解求反函数并写定义域；第(2)问按 $a=0$、$a=1$、其余分类判奇偶。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(文)） 设常数 $a⩾0$，函数 $f(x)=\frac{2^x+a}{2^x-a}$.

(1) 若 $a=4$，求函数 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$；

(2) 根据 $a$ 的不同取值，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：令 $t=2^x$，先解出 $t$ 再取对数；反函数的定义域 = 原函数的值域，需单独求。
2. 第(2)问：先看定义域是否关于原点对称，再算 $f(-x)$。
3. 按 $a=0$、$a=1$、$a>0$ 且 $a\ne 1$ 三类讨论。

✅【答案】

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(1) $f^{-1}(x)={\log }_2\frac{4x+4}{x-1}$，$x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

(2) 当 $a=0$ 时 $f(x)$ 为偶函数；当 $a=1$ 时 $f(x)$ 为奇函数；当 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 时，$f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数

✍【详细解析】

Abstract

(1) 当 $a=4$ 时 $f(x)=\frac{2^x+4}{2^x-4}$。令 $y=\frac{2^x+4}{2^x-4}$，去分母：

$y(2^x-4)=2^x+4⟹2^x(y-1)=4y+4⟹2^x=\frac{4y+4}{y-1}.$

由 $2^x>0$ 知 $\frac{4y+4}{y-1}>0$，即 $y>1$ 或 $y<-1$，故原函数的值域为 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$。

两边取以 2 为底的对数：

$x={\log }_2\frac{4y+4}{y-1}.$

所以

$f^{-1}(x)={\log }_2\frac{4x+4}{x-1},x\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty ).$

(2) 定义域为 $\{x\mid 2^x\ne a\}$。

当 $a=0$：$f(x)=\frac{2^x}{2^x}=1$（$x\in \mathbf{R}$），满足 $f(-x)=f(x)$，为偶函数。

当 $a=1$：定义域 $\mathbf{R}$，且

$f(-x)=\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1}=\frac{1+2^x}{1-2^x}=-\frac{2^x+1}{2^x-1}=-f(x),$

故 $f(x)$ 为奇函数。

当 $a>0$ 且 $a\ne 1$：定义域为 $\{x\mid x\ne {\log }_{2}a\}$，关于原点不对称，故 $f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数。

综上：$a=0$ 时为偶函数；$a=1$ 时为奇函数；$a>0$ 且 $a\ne 1$ 时既不是奇函数也不是偶函数.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求法与定义域；奇偶性的定义；含参函数的分类讨论。

2. 核心方法：“反解 + 取对数 + 值域定定义域”三步求反函数；奇偶性先看定义域对称性，再按参数分类。

3. 避坑指南：① 反函数的定义域是原函数的值域，不能直接照抄对数真数为正的条件；② $a=0$ 时 $f(x)\equiv 1$ 是常函数，仍是偶函数，别漏；③ $a\ne 1$ 时定义域不对称，这一点必须写出来作为”非奇非偶”的依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反函数是上海卷的传统必考点，与奇偶性拼接是常见的解答题开局形式。

2. 结论推广: 若 $a<0$，则 $2^x=a$ 无解，定义域为 $\mathbf{R}$，但此时 $f(-x)$ 与 $\pm f(x)$ 均不相等，仍非奇非偶（$a\ne \pm 1$ 时）。注意 $a=1$ 与 $a=-1$ 分别给出奇、偶的临界情形。

3. 方法推广: “定义域先行 → 计算 $f(-x)$ → 与 $f(x)$、$-f(x)$ 比对”是奇偶性问题的固定三部曲。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 05.02 函数的四大性质
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2014-广东卷文-05 单-奇函数