2015-湖南卷文-08 单-奇偶单调

本题导读

定义域 $(-1,1)$ 对称，$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数；$f^{\prime }(x)=\frac{2}{1-x^2}>0$，在 $(0,1)$ 上增。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 设函数 $f(x)=\ln (1+x)-\ln (1-x)$，则 $f(x)$ 是 ()

A. 奇函数，且在 $(0,1)$ 是增函数

B. 奇函数，且在 $(0,1)$ 是减函数

C. 偶函数，且在 $(0,1)$ 是增函数

D. 偶函数，且在 $(0,1)$ 是减函数

🔍【思路分析】

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定义域 $(-1,1)$ 对称，$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数；$f^{\prime }(x)=\frac{2}{1-x^2}>0$，在 $(0,1)$ 上增。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

函数定义域为 $(-1,1)$。对任意 $x\in (-1,1)$：$f(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=-f(x)$，所以 $f(x)$ 是奇函数。

又 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{2}{1-x^2}>0$（$x\in (0,1)$），故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上是增函数。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性与单调性（导数应用）

核心方法：对称区间定义域 + $f(-x)$ 判奇偶；导数符号判单调

避坑指南：$\ln (1-x)$ 的导数是 $-\frac{1}{1-x}$，注意”减函数的导数带负号”，两项相加才得到 $\frac{2}{1-x^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“双对数差”结构 $\ln \frac{1+x}{1-x}$ 是奇函数的典型构造，与反三角、双曲函数同类。

结论推广：$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ 即反双曲正切 $\mathrm{arctanh}x$，其导数 $\frac{2}{1-x^2}$；一般地 $f(x)-f(-x)$ 型构造必为奇函数。

方法推广：判断复合对数函数性质：先写定义域，再做 $f(-x)$ 变形，最后导数定号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性
• 2014-湖南卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013年湖南卷理-5