2013-天津卷理-09 填-复数乘法

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的乘法。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知 $a,b\in \mathbb{R}$，$i$ 是虚数单位.若 $(a+i)(1+i)=bi$，则 $a+bi=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 展开左侧乘积：利用复数乘法法则 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ 展开左边的式子。
2. 整理复数形式：将展开后的式子整理为“实部 + 虚部 $i$”的形式。
3. 利用复数相等列方程： 根据复数相等定理（实部等于实部，虚部等于虚部），由于右边是 $bi$（即 $0+bi$），可列出关于 $a,b$ 的方程组。
4. 求解并代入：求出 $a$ 和 $b$ 的值，最后计算 $a+bi$ 的结果。

✅【答案】

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$1+2i$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开等式左边 $(a+i)(1+i)=a+ai+i+i^2$ 因为 $i^2=-1$，所以： $(a-1)+(a+1)i$

第二步：对应相等列方程 已知 $(a-1)+(a+1)i=bi$。 对比等式两边的实部与虚部（右边实部为 $0$）：

$$\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=b\end{array}$$

第三步：求解方程组 由第一个方程得：$a=1$。 将 $a=1$ 代入第二个方程得：$b=1+1=2$。

第四步：得出结论 将 $a=1,b=2$ 代入目标式： $a+bi=1+2i$

故填入答案为：$1+2i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的乘法运算及 $i^2=-1$ 的性质；复数相等的判定：$a+bi=c+di⟺a=c\text{且}b=d$。

核心方法：“化标对应法”。处理复数等式问题时，首要任务是将等式两边都化为 $x+yi$ 的标准形式。

避坑指南：注意右侧只有虚部 $bi$，容易漏掉实部为 $0$ 的隐藏条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的共轭、复数的模长计算、复数的几何意义。

结论推广：若题目要求该复数在复平面内的对应点，则该点坐标为 $(1,2)$，位于第一象限。

方法推广：“化标对应法”。处理复数等式问题时，首要任务是将等式两边都化为 $x+yi$ 的标准形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-02 单-复数乘法
• 2013-天津卷文-09 填-复数乘法
• 2026-新高考I卷-09 多-复数