2026-新高考I卷-09 多-复数

本题导读

本题考查复数的基本代数运算与核心概念。核心意图在于测试学生对共轭复数、复数的模、复数乘方以及复数分式除法等主干基础知识的综合计算与等价辨析能力。

📌【题干】

Question

（2026年新高考I卷）设 $z=3+2\mathrm{i}$ ，则（ ）

A. $\bar{z}=3-2\mathrm{i}$　B. $|z|=5$　C. $z^2=5+12\mathrm{i}$　D. $\frac{z+3}{z-\mathrm{i}}\in \mathbf{R}$

🔍【思路分析】

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1. A选项逻辑：根据共轭复数的定义，将虚部符号取反，直接判定。
2. B选项逻辑：应用复数的模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算数值，与已知进行比对。
3. C选项逻辑：展开完全平方公式 $z^2=(a+b\mathrm{i}{)}^2=a^2-b^2+2ab\mathrm{i}$ 进行代数计算。
4. D选项逻辑：将 $z$ 代入分式，分子分母同乘以分母的共轭复数进行分母实数化，化简后若虚部为 0 则属于实数集 $\mathbf{R}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

析 A 选项：验证共轭复数 已知复数 $z=3+2\mathrm{i}$。 根据共轭复数的定义，可得： $\bar{z}=3-2\mathrm{i}$ 故 A 选项 正确。

析 B 选项：验证复数的模 应用复数的模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$： $|z|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ 因为 $\sqrt{13}\ne 5$，故 B 选项 错误。

析 C 选项：验证复数的平方 代入完全平方公式展开计算，注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$： $z^2=(3+2\mathrm{i}{)}^2=3^2+2\times 3\times 2\mathrm{i}+(2\mathrm{i}{)}^2$ $z^2=9+12\mathrm{i}-4=5+12\mathrm{i}$ 故 C 选项 正确。

析 D 选项：验证分式是否为实数 首先将 $z=3+2\mathrm{i}$ 代入分式的分子与分母中： $\frac{z+3}{z-\mathrm{i}}=\frac{(3+2\mathrm{i})+3}{(3+2\mathrm{i})-\mathrm{i}}=\frac{6+2\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}$

即 $\frac{6+2\mathrm{i}}{3+\mathrm{i}}=\frac{2(3+\mathrm{i})}{3+\mathrm{i}}$

由于 $3+\mathrm{i}\ne 0$，分子分母直接约去公因式 $(3+\mathrm{i})$： $\frac{2(3+\mathrm{i})}{3+\mathrm{i}}=2$

因为计算结果为纯实数 $2$，显然有 $2\in \mathbf{R}$。 故 D 选项 正确。

正确答案：ACD

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭与模的基本代数公式；复数除法中的“整体约分”高阶化简意识。
2. 核心方法：公式代入法、因式分解法。
3. 避坑指南：

• 模长计算粗心陷阱：在计算 B 选项时，部分学生容易犯下 $(3+2{)}^2=25⟹\sqrt{25}=5$ 或是把虚数单位 $\mathrm{i}$ 强行带入平方中导致算出 $\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$ 的代数常识错误。牢记模长公式中的 $b$ 是虚部系数，不包含 $\mathrm{i}$。
• 除法强行通分耗时：在处理 D 选项时，直接分子分母同乘 $3-\mathrm{i}$ 进行实数化虽然可行，但若先观察分子分母的比例，直接提取公因数约分，可大幅提升考场解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为 2026 年新高考Ⅰ卷多选题的第一题（第 9 题），考查内容属于大纲中复数板块的常规高频核心构件，侧重于定量考查考生的双基代数基本功。
2. 结论推广： 从复平面几何性质的视角来看：

• C 选项的 $z^2=5+12\mathrm{i}$，其模长满足 $|z^2|=|z{|}^2=(\sqrt{13}{)}^2=13$，正好对应复数乘法在复平面上的“模长平方、辐角加倍”性质。
• D 选项中形如 $\frac{z+m}{z-n\mathrm{i}}\in \mathbf{R}$ 的泛函命题，其几何本质代表复平面上动点 $z$ 与定点 $-m$ 连线的斜率，同与定点 $n\mathrm{i}$ 连线的斜率相等。本题中由于 $z$ 本身就是常数，分式直接退化为固定向量在复平面上的共线映射，通过提取实数因子 $\lambda$，此类复数除法均能直接还原为纯实数标量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数
• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数