2021-北京卷-18 解-概率综合

本题导读

本题考查离散型随机变量及其分布列。核心在于穷举与分类讨论、期望公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“$k$ 合 1 检测法”，即将 $k$ 个人的拭子样本合并检测：若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有 100 人，已知其中 2 人感染病毒．

（1）① 若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者同一组，求总检测次数；

② 已知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为 $\frac{1}{11}$，定义随机变量 $X$ 为总检测次数，求检测次数 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$；

（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 $Y$ 的期望为 $E(Y)$，试比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小（直接写出结果）．

🔍【思路分析】

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“$k$ 合 1 检测法”核心逻辑解析：

总人数 $N$，每组 $k$ 人，共分成 $\frac{N}{k}$ 组。

• 第一轮检测：不论情况如何，必须先检测所有的组，即基础检测次数为 $\frac{N}{k}$ 次。

• 第二轮检测：若某组结果为阳性，说明该组内含有感染者，需要将该组的 $k$ 个人全部单测一遍，每存在一个阳性组，就会增加 $k$ 次检测。

• 总次数 = 基础检测次数 + 阳性组数 $\times k$。

针对本题：

（1）① 已知 2 名患者在同 1 组，说明只有 1 个组呈阳性，带入上述逻辑即可求解。

（1）② 讨论 2 名患者同组或不同组，求出对应 $X$ 的可能取值，列出分布列并求期望。

（2）虽然原解析中采用了含参讨论，但实际上“5 合 1”检测法下两名患者同组的概率是可以直接由古典概型算出的！算出 $E(Y)$ 的精确值即可做出明确的比较。

✅【答案】

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(1) ① $20$ 次

② 分布列见解析，期望 $E(X)=\frac{320}{11}$

(2) $E(X)<E(Y)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）① 计算“10 合 1”且患者同组的总检测次数：

现有 100 人，10 人一组，共分为 10 组。

对每组进行第一轮合并检测，需要检测 10 次；

因为两名感染患者在同一组，所以只有 1 个组的检测结果为阳性。

接着对该阳性组的每个人再进行单人检测，需要再测 10 次；

因此，总检测次数为：$10+10=20$（次）。

（1）② 求 $X$ 的分布列和数学期望：

由题意，$X$ 的可能取值取决于两名患者是否在同一组：

• 当两名感染者在同一组时，只有 1 组呈阳性，需追加 10 次单测，$X=10+10=20$；

• 当两名感染者在不同组时，有 2 组呈阳性，需对这两组共 20 人进行单测，$X=10+10\times 2=30$。

已知患者同组的概率 $P(X=20)=\frac{1}{11}$，

则患者不同组的概率 $P(X=30)=1-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}$。

所以，随机变量 $X$ 的分布列为：

X	20	30
$P$	$\frac{1}{11}$	$\frac{10}{11}$

数学期望为：

$E(X)=20\times \frac{1}{11}+30\times \frac{10}{11}=\frac{20+300}{11}=\frac{320}{11}$

（2）比较 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 的大小：

若采用“5 合 1 检测法”，100 人分为 20 组，基础检测次数为 20 次。

设此时两名患者在同一组的概率为 $p$。

总排法有 $C_{100}^2$ 种，患者在同一组的排法有 $20\times C_5^2$ 种（即从 20 组中选 1 组，再从该组的 5 人中选 2 人的组合数）。

$p=\frac{20\times C_5^2}{C_{100}^2}=\frac{20\times 10}{\frac{100\times 99}{2}}=\frac{200}{4950}=\frac{4}{99}$

随机变量 $Y$ 的可能取值为：

• 若患者同组（1 组阳性）：$Y=20(\text{基础})+5(\text{追加})=25$，概率为 $P(Y=25)=\frac{4}{99}$；

• 若患者不同组（2 组阳性）：$Y=20(\text{基础})+5\times 2(\text{追加})=30$，概率为 $P(Y=30)=1-\frac{4}{99}=\frac{95}{99}$。

计算 $Y$ 的期望：

$E(Y)=25\times \frac{4}{99}+30\times \frac{95}{99}=\frac{100+2850}{99}=\frac{2950}{99}$

现比较 $E(X)$ 与 $E(Y)$：

$E(X)=\frac{320}{11}=\frac{2880}{99}$

显然 $\frac{2880}{99}<\frac{2950}{99}$，即 $E(X)<E(Y)$。

结论：$E(X)<E(Y)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：

1. 现实情境向数学模型的转化：近年高考概率题经常结合实际生活背景。解决此类问题的关键是理清规则，用代数式表示其流程。例如“核酸混检”模型，必须拆解为“普筛次数 + 精确排查次数”两部分。

2. 离散型随机变量的分布列：明确随机变量所有可能的取值，并确保所有概率之和为 1。

3. 古典概型求概率：在第二问中，通过全样本空间 $C_N^2$ 和目标样本空间 $m\times C_k^2$ 的组合数比值，准确算出同组的概率，是打破“无法比较”僵局的关键破局点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2014-浙江卷理-09 单-数学期望
• 2013-天津卷理-16 解-古典概型