2013-安徽卷理-05 单-随机抽样

本题导读

本题考查随机抽样，以及样本特征数。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 某班级有 50 名学生，其中有 30 名男生和 20 名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为 $86,94,88,92,90$，五名女生的成绩分别为 $88,93,93,88,93$.下列说法一定正确的是()

A. 这种抽样方法是一种分层抽样

B. 这种抽样方法是一种系统抽样

C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D. 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 抽样方法判定：
   • 分层抽样要求各层抽取的样本量与该层总体数量成比例。计算男生、女生的总体比例，看抽取的 $5:5$ 是否符合。
   • 系统抽样要求按照固定的编号间隔进行抽取。
2. 样本特征计算：
   • 计算男生成绩样本的平均数 ${\bar{x}}_1$ 和方差 $s_1^2$。
   • 计算女生成绩样本的平均数 ${\bar{x}}_2$ 和方差 $s_2^2$。
   • 比较方差大小判断数据波动性。
3. 样本与总体关系：
   • 明确样本平均数只能代表样本，不能直接推断总体（该班级所有男生/女生）的平均数“一定”具备某种大小关系。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：辨析抽样方法

• 该班男生 30 人，女生 20 人，比例为 $3:2$。
• 分层抽样若抽取 10 人，应抽取男生 6 人，女生 4 人。题中男女各抽 5 人，比例不符，故 A 错误。
• 题目未提及编号及等距抽取，不符合系统抽样定义，故 B 错误。

第二步：计算样本平均数

• 男生平均数：${\bar{x}}_1=\frac{86+94+88+92+90}{5}=90$。
• 女生平均数：${\bar{x}}_2=\frac{88+93+93+88+93}{5}=91$。 （注意：这仅是样本平均数，不能代表全班总体平均数一定有此关系，故 D 错误）。

第三步：计算样本方差

• 男生方差：$s_1^2=\frac{1}{5}[(86-90{)}^2+(94-90{)}^2+(88-90{)}^2+(92-90{)}^2+(90-90{)}^2]=\frac{1}{5}[16+16+4+4+0]=8$。
• 女生方差：$s_2^2=\frac{1}{5}[(88-91{)}^2+(93-91{)}^2+(93-91{)}^2+(88-91{)}^2+(93-91{)}^2]=\frac{1}{5}[9+4+4+9+4]=6$。
• 因为 $8>6$，所以男生成绩的方差大于女生成绩的方差，C 正确。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样的关键是按比例抽取；方差是衡量数据波动程度的指标。

核心方法：数据较少时，直接代入公式计算。在比较方差时，也可以观察数据偏离平均数的程度，男生成绩分布更开（$86\sim 94$），女生分布更集中（$88$ 或 $93$），直观上男生方差更大。

避坑指南：容易混淆样本特征与总体特征。选项 D 描述的是“该班级”整体，而数据仅来自“随机询问的五名”，样本规律不代表总体必然规律。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样的样本量计算公式 $n_i=N_i\cdot \frac{n}{N}$。

结论推广：方差 $s^2$ 越大，数据越不稳定；方差越小，数据越整齐。

方法推广：面对“一定正确”的逻辑判断题，排除法是首选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2015-湖北卷文-02 单-随机抽样
• 2014-湖南卷文-03 单-抽样
• 2013-江西卷文-05 单-随机数表抽样