2014-四川卷文-17 解-三角单调与求值

本题导读

(1) 令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽3x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$；(2) 设 $t=\cos \alpha -\sin \alpha$，化条件为关于 $t$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2014年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间；

(2) 若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha }{3}\right)=\frac{4}{5}\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)\cos 2\alpha$，求 $\cos \alpha -\sin \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 整体换元解不等式组；(2) 展开和差公式，设 $t=\cos \alpha -\sin \alpha$，用 $(\sin \alpha +\cos \alpha )(\cos \alpha -\sin \alpha )=\cos 2\alpha$。

✅【答案】

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(1) $[\frac{2k\pi }{3}-\frac{\pi }{4},\frac{2k\pi }{3}+\frac{\pi }{12}]$（$k\in \mathbf{Z}$）　(2) $-\sqrt{2}$ 或 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽3x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$，得 $-\frac{3\pi }{4}+2k\pi ⩽3x⩽\frac{\pi }{4}+2k\pi$， 即 $\frac{2k\pi }{3}-\frac{\pi }{4}⩽x⩽\frac{2k\pi }{3}+\frac{\pi }{12}$。 故单调递增区间为 $[\frac{2k\pi }{3}-\frac{\pi }{4},\frac{2k\pi }{3}+\frac{\pi }{12}]$（$k\in \mathbf{Z}$）。 (2) 条件即 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{4}{5}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos 2\alpha$，展开： $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )=\frac{2\sqrt{2}}{5}(\cos \alpha -\sin \alpha )\cos 2\alpha$， 即 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{4}{5}(\cos \alpha -\sin \alpha )\cos 2\alpha$。 设 $t=\cos \alpha -\sin \alpha$（$\alpha$ 为第二象限角，$t<0$），则 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\cos 2\alpha }{t}$， 代入得 $\frac{\cos 2\alpha }{t}=\frac{4}{5}t\cos 2\alpha$，即 $\cos 2\alpha \left(\frac{1}{t}-\frac{4}{5}t\right)=0$。 若 $\cos 2\alpha =0$，由 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$ 得 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$，此时 $t=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$（检验：$\sin \pi =0$，条件成立）。 若 $\frac{4}{5}{t}^2=1$，则 $t^2=\frac{5}{4}$，结合 $t<0$ 得 $t=-\frac{\sqrt{5}}{2}$。 故 $\cos \alpha -\sin \alpha =-\sqrt{2}$ 或 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的单调区间与条件求值

2. 核心方法：整体换元定单调区间；平方关系 + 分类讨论

3. 避坑指南：$\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})=\frac{4}{5}\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})\cos 2\alpha$ 化简后得 $\cos 2\alpha \left(\frac{1}{t}-\frac{4}{5}t\right)=0$（$t=\cos \alpha -\sin \alpha$），两支分别给 $-\sqrt{2}$ 与 $-\frac{\sqrt{5}}{2}$，勿丢 $\cos 2\alpha =0$ 这一支。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数的单调性与同角三角函数关系。

2. 结论推广: $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽\omega x+\phi ⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 定增区间；$(\sin \alpha +\cos \alpha )(\cos \alpha -\sin \alpha )=\cos 2\alpha$。

3. 方法推广: 条件求值设 $t=\cos \alpha -\sin \alpha$，利用乘积关系整体化方程，再按零因子分类。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-四川卷文-13 填-三角求值
• 2014-天津卷文-16 解-解三角形