2013-山东卷理-17 解-余弦定理

本题导读

本题考查余弦定理。核心在于方程组法、公式代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$，且 $a+c=6,b=2,\cos B=\frac{7}{9}$.

(1)求 $a,c$ 的值；

(2)求 $\sin (A-B)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求边）：已知 $b,\cos B$ 以及 $a+c$ 的和，自然想到利用余弦定理 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。通过配方变形 $a^2+c^2=(a+c{)}^2-2ac$，建立关于 $ac$ 的方程，进而解出 $a,c$。
2. 第二问（恒等变换）：
   • 目标：$\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$。
   • 已知：$\cos B=\frac{7}{9}$。
   • 需供：利用平方关系求出 $\sin B$，再利用正弦定理求出 $\sin A$，最后求出 $\cos A$。
   • 注意：判定角 $A$ 的范围以确定 $\cos A$ 的符号。

✅【答案】

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故 $a=3,c=3$。；所以：

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ 将 $b=2,a+c=6,\cos B=\frac{7}{9}$ 代入上式： $2^2=(a+c{)}^2-2ac-2ac\cos B$ $4=6^2-2ac\left(1+\frac{7}{9}\right)$ $4=36-\frac{32}{9}ac$ 解得：$ac=9$。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}a+c=6\\ ac=9\end{array}$ 由韦达定理可知，$a,c$ 是方程 $x^2-6x+9=0$ 的两个根。 解得 $(x-3{)}^2=0⟹x=3$。 故 $a=3,c=3$。

（2）解： 由 $\cos B=\frac{7}{9}$ 且 $B\in (0,\pi )$，得： $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{7}{9}\right)}^2}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得： $\sin A=\frac{a\sin B}{b}=\frac{3\times \frac{4\sqrt{2}}{9}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 因为 $a=c=3$，所以 $△ABC$ 是等腰三角形，且 $a>b⟹A>B$。 由 $a^2+b^2=3^2+2^2=13$，$c^2=9$，由余弦定理可知 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4+9-9}{12}=\frac{1}{3}>0$（或利用 $A$ 为锐角判定）。 所以： $\begin{array}{rl}\sin (A-B)& =\sin A\cos B-\cos A\sin B\\ & =\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{7}{9}-\frac{1}{3}\times \frac{4\sqrt{2}}{9}\\ & =\frac{14\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{27}\\ & =\frac{10\sqrt{2}}{27}\end{array}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理的代数变形应用；正弦定理求角；三角恒等变换。

核心方法：方程思想。第一问中将几何定理转化为代数方程组是解三角形中处理“边之和/差”的常用手段。

避坑指南：在求 $\cos A$ 时，一定要通过三边关系或角的大小关系判定其符号。本题中由于 $a=c$，直接判定 $A$ 是底角（锐角）更快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形的面积公式 $S=\frac{1}{2}ac\sin B$。

结论推广：在 $△ABC$ 中，若三边成等差或等比数列，利用正、余弦定理可将角的关系转化为边的比例关系。

方法推广：解决此类问题的一般顺序是：先求三边，再求单角三角函数值，最后根据公式展开复合角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-05 单-余弦定理
• 2015-广东卷文-05 单-余弦定理
• 2013-上海卷文-05 填-余弦定理求角