2014-安徽卷文-01 单-复数运算

本题导读

先化 $i^3=-i$，再对 $\frac{2i}{1+i}$ 分母实数化，最后合并。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 设 $i$ 是虚数单位，复数 $\frac{i^3+2i}{1+i}=$ ()

A. $-i$　　　　　　　B. $i$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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常规复数小题：化幂 + 除法实数化，两步走。

✅【答案】

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（D）$1$

✍【详细解析】

Abstract

$i^3=-i$；$\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i(1-i)}{2}=i(1-i)=1+i$。 故原式 $=-i+(1+i)=1$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数运算

2. 核心方法：乘共轭分母实数化

3. 避坑指南：$i^3=-i$ 不要错写成 $i$；除法先乘共轭再化简，合并时注意 $-i$ 与 $1+i$ 的虚部抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2014 年各卷复数首题的标准配置：$i$ 的幂 + 除法实数化，运算量控制在两步以内。

2. 结论推广: 一般地 $\frac{a+bi}{c+di}$ 统一处理为分子分母同乘 $c-di$，结果即 $\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。

3. 方法推广: 复数小题标准流程：化 $i$ 的幂 → 分母实数化 → 实虚部分别合并。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-01 单-复数除法
• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数