2013-广东卷理-02 单-奇偶性定义

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 定义域为 $\mathbb{R}$ 的四个函数 $y=x^3$，$y=2^x$，$y=x^2+1$，$y=2\sin x$ 中，奇函数的个数是()

A. 4　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 奇函数定义：若对于定义域内任意 $x$，都有 $f(-x)=-f(x)$，则为奇函数。其图象关于原点对称。
2. 偶函数定义：若对于定义域内任意 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$，则为偶函数。其图象关于**$y$ 轴**对称。
3. 逐一验证：
   • $y=x^3$：幂函数，指数为奇数。
   • $y=2^x$：指数函数。
   • $y=x^2+1$：二次函数，常数项不影响对称轴。
   • $y=2\sin x$：正弦型函数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

① 对于 $y=x^3$： 定义域为 $\mathbb{R}$。令 $f(x)=x^3$，则 $f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$。 符合奇函数定义，是奇函数。其图象过原点且关于原点对称。

② 对于 $y=2^x$： 定义域为 $\mathbb{R}$。令 $f(x)=2^x$，则 $f(-x)=2^{-x}=\frac{1}{2^x}$。 既不满足 $f(-x)=f(x)$，也不满足 $f(-x)=-f(x)$。 是非奇非偶函数。

③ 对于 $y=x^2+1$： 定义域为 $\mathbb{R}$。令 $f(x)=x^2+1$，则 $f(-x)=(-x{)}^2+1=x^2+1=f(x)$。 符合偶函数定义，是偶函数。其图象关于 $y$ 轴对称。

④ 对于 $y=2\sin x$： 定义域为 $\mathbb{R}$。令 $f(x)=2\sin x$，则 $f(-x)=2\sin (-x)=-2\sin x=-f(x)$。 符合奇函数定义，是奇函数。其图象关于原点对称。

总结： 奇函数共有 $y=x^3$ 和 $y=2\sin x$ 两个。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本初等函数的奇偶性。 2. 核心结论： - $y=x^n$：$n$ 为奇数时是奇函数，$n$ 为偶数时是偶函数。 - $y=a^x$、$y={\log }_{a}x$：通常是非奇非偶函数（除非经过特殊平移或复合）。 - $y=\sin x$、$y=\tan x$：奇函数。 - $y=\cos x$：偶函数。

核心方法：见详细解析

避坑指南：判定奇偶性的前提是定义域关于原点对称，虽然本题中四个函数定义域均为 $\mathbb{R}$，但在处理其他题目时需首要检查。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本初等函数的奇偶性。 2. 核心结论： - $y=x^n$：$n$ 为奇数时是奇函数，$n$ 为偶数时是偶函数。 - $y=a^x$、$y={\log }_{a}x$：通常是非奇非偶函数（除非经过特殊平移或复合）。 - $y=\sin x$、$y=\tan x$：奇函数。 - $y=\cos x$：偶函数。

结论推广：见详细解析。

方法推广：对于复杂的复合函数，利用上述性质可以快速判断整体的奇偶性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性