2013-广东卷理-03 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及复数的除法。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $iz=2+4i$，则在复平面内，$z$ 对应的点的坐标是()

A. $(2,4)$　　　　B. $(2,-4)$　　　　C. $(4,-2)$　　　　D. $(4,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分离复数 $z$：由 $iz=2+4i$ 可得 $z=\frac{2+4i}{i}$。
2. 化简复数：利用复数的除法法则，分子分母同乘以分母的共轭虚数（即 $-i$），或者利用 $\frac{1}{i}=-i$ 直接计算。
3. 确定几何坐标：复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) 在复平面内对应的点坐标为 $(a,b)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解方程求 $z$ 已知 $iz=2+4i$。 则 $z=\frac{2+4i}{i}$。

第二步：化简复数代数形式 方法一：分子分母同乘 $-i$ $z=\frac{(2+4i)(-i)}{i(-i)}=\frac{-2i-4i^2}{1}=\frac{-2i+4}{1}=4-2i$ 方法二：利用性质 $\frac{1}{i}=-i$ $z=(2+4i)\cdot (-i)=-2i-4i^2=-2i+4=4-2i$

第三步：确定对应点坐标 复数 $z=4-2i$ 的实部为 $4$，虚部为 $-2$。 因此，它在复平面内对应的点为 $(4,-2)$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$。 2. 核心结论：复平面内的横轴（实轴）对应实部，纵轴（虚轴）对应虚部。

核心方法：见详细解析

避坑指南：计算时注意 $i^2=-1$。此外，不要将复数本身与共轭复数对应的点弄混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模 $|z|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

结论推广：见详细解析。

方法推广：涉及复数方程时，通常先将 $z$ 分离出来化为 $a+bi$ 形式，再讨论其性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法