2013-浙江卷文-18 解-正余弦定理面积

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于边化角求角、整体平方求的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 在锐角 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，且 $2a\sin B=\sqrt{3}b$.

(1)求角 $A$ 的大小；

(2)若 $a=6$，$b+c=8$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. 正弦定理边化角：$2\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B$，$\sin B\ne 0$ → $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$A$ 为锐角 → $A=\frac{\pi }{3}$。
2. 余弦定理：$36=b^2+c^2-bc=(b+c{)}^2-3bc=64-3bc$ → $bc=\frac{28}{3}$。
3. $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times \frac{28}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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(1)$A=\frac{\pi }{3}$；(2)$S_{△ABC}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $2a\sin B=\sqrt{3}b$ 及正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，得 $2\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B.$ 因为 $B$ 是三角形内角，$\sin B\ne 0$，约去 $\sin B$ 得 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 又 $A$ 是锐角，所以 $A=\frac{\pi }{3}$。 （2）由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-bc,$ 即 $36=b^2+c^2-bc$。将 $b^2+c^2=(b+c{)}^2-2bc$ 代入： $36=(b+c{)}^2-3bc=64-3bc⟹bc=\frac{28}{3}.$ 由面积公式 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times \frac{28}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理边化角 + 余弦定理与面积

核心方法：$2\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B$ → $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $A=\frac{\pi }{3}$；$a^2=b^2+c^2-bc=(b+c{)}^2-3bc$ → $bc=\frac{28}{3}$；$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{28}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：$bc$ 用 $(b+c{)}^2-3bc=64-36$ 一步得到，别联立方程组逐个解 $b$、$c$；面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 的 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 别丢系数；部分资料（含本题合集答案页）误写为 $\frac{14\sqrt{3}}{3}$，以官方解析 $\frac{7\sqrt{3}}{3}$ 为准。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：官方答案即 $\frac{7\sqrt{3}}{3}$。值得注意：文献（童益民《对一道高考三角试题的研究》）指出本题存在命题瑕疵——由 $A=\frac{\pi }{3}$，$a=6$，$b+c=8$ 实际解得 $b$，$c$ 后，最大边对角约 $108^{\circ }$，$△ABC$ 并非锐角三角形，与题设”锐角”矛盾；好在这不影响两问的计算。

结论推广：把 $A$、$a$、$b+c$ 换成任意组合，“整体平方求 $bc$“的方法不变：$a^2=(b+c{)}^2-2bc(1+\cos A)$。

方法推广：解三角形解答题的标准骨架：正弦定理边化角求角 → 余弦定理 + 和式整体变形求积 → 面积公式收官。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-04 单-解三角形面积
• 2013-山东卷文-07 单-解三角形倍角
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形