2013-新课标I卷理-01 单-集合交集

本题导读

本题考查集合的基本运算，以及并集与交集。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 已知集合 $A=\{x\mid x^2-2x>0\}$，$B=\{x\mid -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\}$，则()

A. $A\cap B=\varnothing$　　　　　B. $A\cup B=\mathbb{R}$　　　　　C. $B\subseteq A$　　　　　D. $A\subseteq B$

🔍【思路分析】

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1. 化简集合 A：解一元二次不等式 $x^2-2x>0$，利用二次函数图象或口诀确定区间。
2. 分析集合 B：明确集合 $B$ 的开区间范围，注意 $\sqrt{5}$ 的近似值。
3. 运算判定：在数轴上表示两集合，通过观察重叠部分（交集）和合并部分（并集）判定选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式求集合 A 由 $x^2-2x>0$ 得 $x(x-2)>0$。 对应方程 $x(x-2)=0$ 的根为 $x_1=0,x_2=2$。 由一元二次不等式“大于取两边”可知： $A=\{x\mid x<0\text{ 或 }x>2\}=(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )$。

第二步：明确集合 B 的范围 $B=\{x\mid -\sqrt{5}<x<\sqrt{5}\}$。 由于 $2^2=4,3^2=9$，可知 $2<\sqrt{5}<3$（约为 2.236）。

第三步：集合运算判定 在数轴上标出 $A,B$ 的范围：

• 交集判定：$A\cap B=(-\sqrt{5},0)\cup (2,\sqrt{5})$。可知不为空集，故 A 错误。
• 并集判定：$A\cup B=(-\infty ,0)\cup (2,+\infty )\cup (-\sqrt{5},\sqrt{5})$。 观察数轴：由于 $-\sqrt{5}<0$ 且 $\sqrt{5}>2$，集合 $B$ 刚好“覆盖”了集合 $A$ 在原点及其右侧的缺口，使得整个实数集被衔接起来。 即 $(-\infty ,0)\cup (-\sqrt{5},\sqrt{5})\cup (2,+\infty )=(-\infty ,+\infty )=\mathbb{R}$。故 B 正确。
• 包含关系判定：$B$ 中有元素（如 $1$）不在 $A$ 中，$A$ 中也有元素（如 $3$）不在 $B$ 中，故 C、D 错误。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：一元二次不等式的解法；集合并集的几何意义。

核心方法：数轴法。对于连续区间的集合运算，数轴是最直观、容错率最高的工具。

避坑指南：注意端点的开闭情况。本题中均为开区间（不含等号），在判定并集是否为 $\mathbb{R}$ 时，需确认交界点是否被至少一个集合包含（本题中虽 $0,2$ 均不在 $A$ 中，但均在 $B$ 的内部）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：补集运算、子集的判定、二次函数的开口与根的关系。

结论推广：若 $A\cup B=\mathbb{R}$，且 $A\cap B=\varnothing$，则 $B={\complement }_{\mathbb{R}}A$。

方法推广：处理含根号的不等式时，通过平方估值确定其在数轴上的相对位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-01 单-集合交集
• 2015-天津卷文-01 单-集合交补
• 2014-陕西卷文-01 单-集合交集