2013-新课标I卷理-02 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的除法。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $(3-4i)z=|4+3i|$，则 $z$ 的虚部为()

A. $-4$　　　　　　　B. $-\frac{4}{5}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算复数的模：先求出等式右侧 $|4+3i|$ 的数值。
2. 分离复数 $z$：将等式转化为 $z=\frac{\text{常数}}{3-4i}$ 的形式。
3. 复数除法化简：分子分母同乘分母的共轭复数，进行“分母实数化”。
4. 确定虚部：将 $z$ 化为 $a+bi$ 的标准形式，识别虚部 $b$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算模长 根据复数模的定义 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$： $|4+3i|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$。

第二步：列出 $z$ 的表达式 原式变为 $(3-4i)z=5$。 解得 $z=\frac{5}{3-4i}$。

第三步：分母实数化 分子分母同乘 $3+4i$（分母的共轭复数）： $z=\frac{5(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}$ $z=\frac{15+20i}{3^2+4^2}$ $z=\frac{15+20i}{25}$

第四步：化简并找虚部 $z=\frac{15}{25}+\frac{20}{25}i$ $z=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$ 根据复数 $a+bi$ 的定义，虚部为 $b$（注意虚部不含 $i$）。 所以 $z$ 的虚部为 $\frac{4}{5}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的计算公式；复数除法中的“分母实数化”技巧。

核心方法：共轭法。处理复数除法时，分子分母同乘分母的共轭复数是标准程序。

避坑指南：- 虚部是一个实数，不带 $i$。例如 $z=a+bi$ 的虚部是 $b$ 而不是 $bi$。 - 计算模长时，实部虚部平方和开方，不要把 $i$ 带入平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共轭复数的性质、复数的几何意义。

结论推广：对于 $z=\frac{k}{a+bi}$，其虚部符号与分母中 $i$ 的系数符号相反。

方法推广：熟记常见的“勾股数”复数模，如 $3\pm 4i,4\pm 3i$ 的模均为 $5$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法