2013-江苏卷-02 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数形式，以及复数的运算。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 设 $z=(2-i{)}^2$（$i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的模为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方法一（性质法）：利用复数模的性质 $|z^n|=|z{|}^n$。先求出底数 $2-i$ 的模，再计算其平方。
2. 方法二（计算法）：先利用完全平方公式将 $z$ 展开为 $a+bi$ 的形式，再利用模的定义公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

解法一（推荐）： 根据复数模的运算性质 $|z^n|=|z{|}^n$，有： $|z|=|(2-i{)}^2|=|2-i{|}^2$ 首先计算复数 $2-i$ 的模： $|2-i|=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$ 所以： $|z|=(\sqrt{5}{)}^2=5$

解法二： 首先展开复数 $z$： $z=(2-i{)}^2=4-4i+i^2=4-4i-1=3-4i$ 根据复数模的定义： $|z|=|3-4i|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

故答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

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