2007-湖北卷理-12 填-复数为实数充要条件

本题导读

本题考查复数的代数运算及基本数理概念特征。通过将复数 $z=a+b\text{i}$ 代入目标多项式展开，并利用“复数为实数 $⟺$ 虚部严格为 0”的红线性质建立 $a,b$ 的方程，最终选取一组符合 $b\ne 0$ 的合规特值。

📌【题干】

Question

（2007年湖北卷(理)） 复数 $z=a+b\text{i},a,b\in \mathbf{R}$，且 $b\ne 0$，若 $z^2-4bz$ 是实数，则有序实数对 $(a,b)$ 可以是________。（写出一个有序实数对即可）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入展开多项式：

• 将 $z=a+b\text{i}$ 代入目标式 $W=z^2-4bz$。
• $W=(a+b\text{i}{)}^2-4b(a+b\text{i})=a^2-b^2+2ab\text{i}-4ab-4b^2\text{i}$。

2. 分离提取虚部：将结果整理为实部与虚部分离的形态， 虚部为 $(2ab-4b^2)\text{i}$。
3. 令虚部为 0 建立方程：

• 因为 $W$ 是实数 $⟹2ab-4b^2=0⟹2b(a-2b)=0$。
• 已知大前提 $b\ne 0$， 故可直接约去 $2b$， 导出 $a-2b=0⟹a=2b$。

4. 选取一组特值：只要满足 $a=2b$ 且 $b\ne 0$ 的任何实数对都是正确答案。

✅【答案】

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$(2,1)$ （答案不唯一，满足 $a=2b$ 且 $b\ne 0$ 即可）

✍【详细解析】

Abstract

解：将复数 $z=a+b\text{i}$ 代入到已知表达式 $z^2-4bz$ 中进行代数展开： $z^2-4bz=(a+b\text{i}{)}^2-4b(a+b\text{i})$ $=(a^2-b^2+2ab\text{i})-(4ab+4b^2\text{i})$ 将展开后的多项式按照实部与虚部进行分离与重新归拢： $z^2-4bz=(a^2-b^2-4ab)+(2ab-4b^2)\text{i}$

根据复数的数理性质，一个复数为实数的充要条件是其虚部必须严格等于 0： $2ab-4b^2=0⟹2b(a-2b)=0$

因为题目给出显性限制前提条件 $b\ne 0$， 故等式两边可以同时除以非零因子 $2b$： $a-2b=0⟹a=2b$

只要有序实数对 $(a,b)$ 满足 $a=2b$ 且 $b\ne 0$， 均能使原式成立。 现取最简正整数进行特值赋值：令 $b=1$， 则 $a=2\times 1=2$。 此时对应的有序实数对为 $(2,1)$。 (注：填入如 $(4,2),(-2,-1)$ 等任意满足 $a=2b(b\ne 0)$ 的有序对均完全正确)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数乘方运算特征、复数分类定义（ $\text{Im}(z)=0⟺z\in \mathbf{R}$）。
2. 核心方法：虚部离析归零法、开放式特值构造法。
3. 避坑指南：

• 提取出 $2b(a-2b)=0$ 后， 必须紧扣题干 $b\ne 0$ 这一防线， 从而精确定位出 $a=2b$ 这一线性轨迹。构造特值时注意不要盲目贪方便令 $b=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的代数形式与代数运算、复数为实数的充要条件是湖北卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是复数的代数形式与代数运算、复数为实数的充要条件的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用复数展开虚部归零法、特值选取法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-02 填-复数运算
• 2011-陕西卷文-14 填-二次方程整数根充要
• 2013-江苏卷-02 填-复数运算