2013-江苏卷-16 解-面面平行判定

本题导读

本题考查空间点线面位置关系。核心在于中位线性质法、线面垂直转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，平面 $SAB\perp$ 平面 $SBC$，$AB\perp BC$，$AS=AB$.过 $A$ 作 $AF\perp SB$，垂足为 $F$，点 $E、G$ 分别为线段 $SA、SC$ 的中点.

求证：(1)平面 $EFG\parallel$ 平面 $ABC$；

(2)$BC\perp SA$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（面面平行）：
   • 在 $△SAB$ 中，因为 $AS=AB$ 且 $AF\perp SB$，由等腰三角形性质可知 $F$ 是 $SB$ 的中点。
   • 利用 $E,F,G$ 分别是棱中点的条件，得到 $EF\parallel AB,FG\parallel BC$。
   • 根据面面平行的判定定理（一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面），得出结论。
2. 第二问（线线垂直）：
   • 已知：面面垂直（$SAB\perp SBC$）。
   • 转化：利用性质定理，在平面 $SAB$ 内作出的 $AF\perp SB$（交线），则 $AF\perp$ 平面 $SBC$。
   • 推导：因为 $BC\subset$ 平面 $SBC$，所以 $AF\perp BC$。
   • 线面垂直判定：结合 $AB\perp BC$，可知 $BC$ 垂直于平面 $SAB$ 内的两条相交直线 $AF$ 和 $AB$。
   • 结论：得出 $BC\perp$ 平面 $SAB$，由于 $SA\subset$ 平面 $SAB$，故 $BC\perp SA$。

✅【答案】

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所以 平面 $EFG\parallel$ 平面 $ABC$。；所以 $BC\perp SA$

✍【详细解析】

Abstract


（1）证明： 在 $△SAB$ 中，因为 $AS=AB$ 且 $AF\perp SB$， 所以 $F$ 为 $SB$ 的中点。 又因为 $E,G$ 分别为 $SA,SC$ 的中点， 所以 $EF$ 是 $△SAB$ 的中位线，则 $EF\parallel AB$。 $FG$ 是 $△SBC$ 的中位线，则 $FG\parallel BC$。 因为 $EF\subset$ 平面 $EFG,FG\subset$ 平面 $EFG,EF\cap FG=F$， 且 $AB\subset$ 平面 $ABC,BC\subset$ 平面 $ABC,AB\cap BC=B$， 所以 平面 $EFG\parallel$ 平面 $ABC$。

（2）证明： 因为 平面 $SAB\perp$ 平面 $SBC$，且 平面 $SAB\cap$ 平面 $SBC=SB$， 又 $AF\subset$ 平面 $SAB$，$AF\perp SB$， 所以 $AF\perp$ 平面 $SBC$。 因为 $BC\subset$ 平面 $SBC$， 所以 $AF\perp BC$。 又已知 $AB\perp BC$，且 $AF\cap AB=A,AF,AB\subset$ 平面 $SAB$， 所以 $BC\perp$ 平面 $SAB$。 因为 $SA\subset$ 平面 $SAB$， 所以 $BC\perp SA$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：- 面面平行判定：$a\parallel A,b\parallel A,a\cap b=P⟹\text{面}\parallel \text{面}$。 - 面面垂直性质：面面垂直时，在一个面内垂直于交线的直线必垂直于另一个面（常用于降维寻找线面垂直）。

核心方法：垂直关系的证明通常遵循“线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 线线垂直”的循环转化。

避坑指南：证明面面平行时，必须强调平面内的两条直线是相交的；利用面面垂直性质时，必须写明交线。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题也可以建立空间直角坐标系通过向量法证明，但纯几何法在处理中点问题时更为简洁。

结论推广：在三棱锥中，若底面是直角三角形且侧面与底面垂直，常通过构造线面垂直来寻找隐藏的垂直关系。

方法推广：垂直关系的证明通常遵循“线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 线线垂直”的循环转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-08 单-线面关系判定
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直
• 2014-新课标II卷文-18 解-线面平行与距离