2013-江西卷文-12 填-等比数列植树

本题导读

本题考查等比数列的前项和，以及数列的实际应用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 某住宅小区计划植树不少于 100 棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍，则需要的最少天数 $n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）等于 　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S_n=2(2^n-1)=2^{n+1}-2$。
2. $2^{n+1}⩾102$，即 $2^n⩾51$。
3. $2^5=32<51⩽64=2^6$ → $n=6$。

✅【答案】

点击查看答案

$6$

✍【详细解析】

Abstract

设第 $k$ 天植树 $a_k$ 棵，则 $\{a_k\}$ 是首项 $a_1=2$、公比 $q=2$ 的等比数列。 前 $n$ 天共植树 $S_n=\frac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2.$令 $S_n⩾100$： $2^{n+1}⩾102\Rightarrow 2^n⩾51.$ 由 $2^5=32<51$，$2^6=64⩾51$，得最小 $n=6$。 验证：$2+4+8+16+32+64=126⩾100$，而前 5 天仅 $62<100$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列求和的实际应用（植树）

核心方法：$S_n=2(2^n-1)⩾100\Rightarrow 2^{n+1}⩾102\Rightarrow n⩾6$

避坑指南：$2^6=64⩾51$ 而 $2^5=32<51$，卡指数边界别算滑；求和公式是 $2(2^n-1)=2^{n+1}-2$，先加 2 再除：$2^{n+1}⩾102$，若漏掉"$-2$"直接解 $2^n⩾50$ 会碰巧也对，但过程分要丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列前 $n$ 项和的应用（植树模型）。

结论推广：等比求和公式；指数不等式。

方法推广：建等比模型 → 写 $S_n$ → 解 $2^{n+1}⩾102$ → 定最小 $n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和
• 2013-大纲卷文-07 单-等比数列求和
• 2013-新课标I卷文-06 单-等比数列前n项和