2013-江西卷文-20 解-椭圆顶点定值

本题导读

本题考查椭圆的标准方程。核心在于基本量法、参数点代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a+b=3$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)如图所示，$A$，$B$，$D$ 是椭圆 $C$ 的顶点，$P$ 是椭圆 $C$ 上除顶点外的任意一点，直线 $DP$ 交 $x$ 轴于点 $N$，直线 $AD$ 交 $BP$ 于点 $M$，设 $BP$ 的斜率为 $k$，$MN$ 的斜率为 $m$，证明：$2m-k$ 为定值.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}\Rightarrow b^2=\frac{a^2}{4}$，$a=2b=2$，$b=1$：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$。
2. $(2)$ $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$D(0,1)$，$P(x_0,y_0)$：$k=\frac{y_0}{x_0-2}$。
3. $N\left(\frac{x_0}{1-y_0},0\right)$，$M\left(\frac{2(2-x_0-2y_0)}{x_0-2-2y_0},\frac{4y_0}{2+2y_0-x_0}\right)$ → $m=\frac{y_0-1}{x_0+2y_0-2}$。
4. $2m-k=\frac{x_0{y}_0-2x_0-2y_0-2y_0^2+4}{\frac{1}{2}{x}_0^2+x_0{y}_0-2x_0-2y_0+2}$，分子分母差 $-2y_0^2+2-\frac{1}{2}{x}_0^2=0$ → $2m-k=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}+y^2=1$；(2)$2m-k=\frac{1}{2}$，为定值

✍【详细解析】

Abstract

（1） $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，即 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$，得 $b^2=\frac{a^2}{4}$，$a=2b$。 代入 $a+b=3$：$3b=3$，$b=1$，$a=2$。 椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$。 （2） 由图，$A(-2,0)$，$B(2,0)$ 为左右顶点，$D(0,1)$ 为上顶点。设 $P(x_0,y_0)$（$y_0\ne 0$，$x_0\ne \pm 2$），则 $x_0^2=4(1-y_0^2).(\ast )$ $BP$ 的斜率：$k=\frac{y_0}{x_0-2}$。 直线 $DP$：$y=1+\frac{y_0-1}{x_0}x$，令 $y=0$ 得 $N\left(\frac{x_0}{1-y_0},0\right)$。 直线 $AD$：过 $(-2,0)$、$(0,1)$，即 $y=\frac{x}{2}+1$；直线 $BP$：$y=k(x-2)$。 联立 $y=\frac{x}{2}+1$ 与 $y=k(x-2)$：$x\left(\frac{1}{2}-k\right)=-1-2k$，解出 $x_M=\frac{2(2-x_0-2y_0)}{x_0-2-2y_0},y_M=\frac{x_M}{2}+1=\frac{4y_0}{2+2y_0-x_0}.$ 由 $y_M=-\frac{4y_0}{x_0-2-2y_0}$，$x_M-x_N$ 通分后分子恰为 $4y_0(x_0+2y_0-2)$，相消得 $m=\frac{y_M-0}{x_M-x_N}=\frac{y_0-1}{x_0+2y_0-2}.$ 计算 $2m-k=\frac{2(y_0-1)(x_0-2)-y_0(x_0+2y_0-2)}{(x_0+2y_0-2)(x_0-2)}.$ 分子展开：$2x_0{y}_0-2x_0-4y_0+4-x_0{y}_0-2y_0^2+2y_0=x_0{y}_0-2x_0-2y_0-2y_0^2+4$；由 $(\ast )$ 知 $-2y_0^2+4=\frac{x_0^2}{2}$，故分子 $=x_0{y}_0-2x_0-2y_0+\frac{x_0^2}{2}$，记为 $M$。 分母展开：$(x_0+2y_0-2)(x_0-2)=x_0^2+2x_0{y}_0-4x_0-4y_0+4=2M$。 $P$ 非顶点时 $M\ne 0$，所以 $2m-k=\frac{M}{2M}=\frac{1}{2},$ 为定值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的基本量 + 顶点结构下的斜率定值

核心方法：$(1)$ $e^2=\frac{3}{4}\Rightarrow b^2=\frac{a^2}{4}$，$a+b=3$ → $a=2$，$b=1$，$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$；$(2)$ $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$D(0,1)$，$P(x_0,y_0)$：$k=\frac{y_0}{x_0-2}$，$m=\frac{y_0-1}{x_0+2y_0-2}$ → $2m-k=\frac{1}{2}$

避坑指南：由图先认顶点：$A$、$B$ 是左右顶点、$D$ 是上顶点，坐标别安错（安错则全盘皆错）；计算量大，抓住约分关键 $x_0^2=4(1-y_0^2)$ 及时代入消元——$x_0^2$ 一定要留到化简的最后一步再代，提前代入反而绕远。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆标准方程（离心率 + 基本量）与顶点背景下斜率定值证明。

结论推广：基本量法；设点代入 + 韦达结构消元。

方法推广：$e$ 与 $a+b$ 定方程 → 设 $P(x_0,y_0)$ → 表 $k$ 与 $m$ → 用椭圆方程化简出定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-08 单-椭圆标准方程
• 2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率
• 2014-四川卷文-20 解-椭圆平行四边形