2013-新课标II卷文-05 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的定义，以及椭圆的离心率。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(文)） 设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$P$ 是 $C$ 上的点，$P{F}_2\perp F_1{F}_2$，$\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$，则 $C$ 的离心率为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{3}$　　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 在 $\mathrm{Rt}△P{F}_1{F}_2$ 中（直角在 $F_2$），$|F_1{F}_2|=2c$。
2. 由 $\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$ 得 $P{F}_2=2c\tan 30^{\circ }$、$P{F}_1=\frac{2c}{\cos 30^{\circ }}$。
3. 由定义 $P{F}_1+P{F}_2=2a$ 解出 $a$ 与 $c$ 的关系。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $P{F}_2\perp F_1{F}_2$，所以 $△P{F}_1{F}_2$ 为直角三角形，直角在 $F_2$，而 $|F_1{F}_2|=2c$。 在 $\mathrm{Rt}△P{F}_1{F}_2$ 中，$\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$，于是 $P{F}_2=|F_1{F}_2|\tan 30^{\circ }=2c\times \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}c,$ $P{F}_1=\frac{|F_1{F}_2|}{\cos 30^{\circ }}=\frac{2c}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4c}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}c.$ 由椭圆的定义 $P{F}_1+P{F}_2=2a$，得 $2a=\frac{4\sqrt{3}}{3}c+\frac{2\sqrt{3}}{3}c=2\sqrt{3}c,$ 即 $a=\sqrt{3}c$，故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$ 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与离心率

核心方法：在直角三角形中用锐角三角函数把焦半径用 $c$ 表示，再用 $P{F}_1+P{F}_2=2a$ 求 $e$

避坑指南：$\angle P{F}_1{F}_2=30^{\circ }$ 的顶点是 $F_1$，不要与 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$ 混用；定义式 $P{F}_1+P{F}_2=2a$ 是求 $e$ 的关键桥梁。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的定义与离心率（全国卷高频）。

结论推广：椭圆上任意一点 $P$ 满足 $P{F}_1+P{F}_2=2a$，其中 $F_1$、$F_2$ 为焦点，$|F_1{F}_2|=2c$。

方法推广：求离心率的通法：在焦点三角形中把各边用 $a$、$c$ 表示，再套定义式或结合勾股关系解方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-20 解-椭圆离心率
• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2013年新课标Ⅱ理-5