2012-江苏卷-13 填-二次函数值域与解集

本题导读

本题考查二次函数的值域，以及二次不等式的解集与区间长度。

📌【题干】

Question

（2012年江苏卷） 已知函数 $f(x)=x^2+ax+b$（$a,b\in \mathbf{R}$）的值域为 $[0,+\infty )$，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)<c$ 的解集为 $(m,m+6)$，则实数 $c$ 的值为　　.

🔍【思路分析】

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$f(x)<c$ 的解集长 $2\sqrt{c}$，由 $2\sqrt{c}=6$ 得 $c=9$。

✅【答案】

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$9$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 的图象开口向上，且值域为 $[0,+\infty )$，因此其最小值为 $0$。

配方得 $f(x)={\left(x+\frac{a}{2}\right)}^2+b-\frac{a^2}{4}$，所以顶点的纵坐标为 $b-\frac{a^2}{4}=0$。

对于 $c>0$，不等式 $f(x)<c$ 的解集为 $\left(-\frac{a}{2}-\sqrt{c},-\frac{a}{2}+\sqrt{c}\right)$，其长度为 $2\sqrt{c}$。

题设解集 $(m,m+6)$ 的长度为 $6$，故 $2\sqrt{c}=6$，从而 $c=9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数顶点式与值域；解集端点由对称轴与 $\sqrt{c}$ 决定

核心方法：解集长度只与 $c$ 有关，与对称轴无关——直接由长度定 $c$

避坑指南：解集 $(m,m+6)$ 关于对称轴对称，长为 $2\sqrt{c}$；把长度错当成 $\sqrt{c}$ 或忘记 $b-\frac{a^2}{4}=0$ 这一隐含条件都会卡住。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次函数值域与解集长度题，与 2013 年浙江卷文第 7 题、2014 年江苏卷第 10 题同族。

结论推广：$f(x)={\left(x-x_0\right)}^2$ 时 $f(x)<c$ 的解集为 $(x_0-\sqrt{c},x_0+\sqrt{c})$，长度 $2\sqrt{c}$；区间长度与 $a,b$ 无关是该类题的关键。

方法推广：含”解集为区间”的题先读区间长与对称中心两个信息：长度给参数、中心给对称轴，双条件联立最省力。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷文-07 单-二次函数对称
• 2014-江苏卷-10 填-二次函数
• 2013-北京卷文-13 填-分段函数值域