2013-浙江卷文-13 填-圆的弦长

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及弦长。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 直线 $y=2x+3$ 被圆 $x^2+y^2-6x-8y=0$ 所截得的弦长等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方：$(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$，圆心 $(3,4)$，$r=5$。
2. 直线 $2x-y+3=0$，$d=\frac{|6-4+3|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
3. $L=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$。

✅【答案】

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$4\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

圆方程配方： $x^2+y^2-6x-8y=0⟹(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25,$ 圆心 $(3,4)$，半径 $r=5$。直线化为 $2x-y+3=0$，圆心到直线的距离 $d=\frac{|2\times 3-1\times 4+3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}.$ 由勾股定理（半弦长、弦心距、半径构成直角三角形）： $L=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆的弦长（圆心距 + 勾股）

核心方法：圆 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25$，$r=5$；圆心到直线 $2x-y+3=0$ 距离 $d=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$；弦长 $=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$

避坑指南：弦长公式 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$ 里的 $r$、$d$ 必须先标准化：圆方程要配成 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，直线要化成一般式再代距离公式——拿 $x^2+y^2-6x-8y=0$ 的系数直接算距离必错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆的位置关系（弦长问题）。

结论推广：圆心 $(3,4)$，$r=5$；$d=\frac{|2\times 3-4+3|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\sqrt{5}$；$L=2\sqrt{r^2-d^2}$。

方法推广：弦长三步：圆的一般式配方定圆心半径 → 圆心到直线距离 → 勾股定半弦长、乘 2。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-13 填-圆最短弦
• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆
• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程