2013-浙江卷文-19 解-等差与绝对值求和

本题导读

本题考查等差数列的通项与前n项和。核心在于等比中项列方程、符号分界分段求和的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)）在公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 10$ ，且 $a_{1}$ ， $2 a_{2} + 2$ ， $5 a_{3}$ 成等比数列.

(1)求 $d$ ， $a_{n}$ ；

(2)若 $d < 0$ ，求 $∣ a_{1} ∣ + ∣ a_{2} ∣ + ∣ a_{3} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣$ .

🔍【思路分析】

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等比中项： $(2 a_{2} + 2)^{2} = a_{1} \cdot 5 a_{3}$ ，代入 $a_{2} = 10 + d$ ， $a_{3} = 10 + 2 d$ ： $(22 + 2 d)^{2} = 50 (10 + 2 d)$ → $d^{2} - 3 d - 4 = 0$ → $d = 4$ 或 $d = - 1$ 。

$d = 4$ ： $a_{n} = 4 n + 6$ ； $d = - 1$ ： $a_{n} = 11 - n$ 。

$d < 0$ 取 $a_{n} = 11 - n$ ： $a_{10} = 1 > 0$ ， $a_{11} = 0$ ， $a_{12} = - 1 < 0$ ； $S_{n} = \frac{n ( 21 - n )}{2}$ ， $S_{11} = 55$ 。

$n ⩽ 11$ ： $\sum ∣ a_{i} ∣ = S_{n} = \frac{- n ^{2} + 21 n}{2}$ ； $n ⩾ 12$ ： $\sum ∣ a_{i} ∣ = 2 S_{11} - S_{n} = \frac{n ^{2} - 21 n}{2} + 110$ 。

✅【答案】

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(1) $d = - 1$ 或 $d = 4$ ， $a_{n} = - n + 11$ 或 $a_{n} = 4 n + 6$ ；(2) $\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i} ∣ = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{- n ^{2} + 21 n}{2}, \frac{n ^{2} - 21 n}{2} + 110, n ⩽ 11, n ⩾ 12.$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $a_{1}$ ， $2 a_{2} + 2$ ， $5 a_{3}$ 成等比数列，得 $(2 a_{2} + 2)^{2} = a_{1} \cdot 5 a_{3} .$ 代入 $a_{2} = 10 + d$ ， $a_{3} = 10 + 2 d$ ： $(22 + 2 d)^{2} = 50 (10 + 2 d) ⟹ 4 (d + 11)^{2} = 500 + 100 d,$ 化简得 $d^{2} - 3 d - 4 = 0$ ，即 $(d - 4) (d + 1) = 0$ ，故 $d = 4$ 或 $d = - 1$ 。当 $d = 4$ 时， $a_{n} = 10 + 4 (n - 1) = 4 n + 6$ ；当 $d = - 1$ 时， $a_{n} = 10 - (n - 1) = 11 - n$ 。（2） $d < 0$ ，取 $a_{n} = 11 - n$ ，则 $a_{1} = 10 > 0$ ， $a_{10} = 1 > 0$ ， $a_{11} = 0$ ， $a_{12} = - 1 < 0$ ，即前 10 项为正、第 11 项为零、第 12 项起为负。等差数列前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n ( 21 - n )}{2}$ ，且 $S_{11} = 55$ 。当 $n ⩽ 11$ 时， $a_{i} ⩾ 0$ （ $1 ⩽ i ⩽ n$ ）， $\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i} ∣ = S_{n} = \frac{- n ^{2} + 21 n}{2};$ 当 $n ⩾ 12$ 时， $\sum_{i = 1}^{n} ∣ a_{i} ∣ = S_{11} - (S_{n} - S_{11}) = 2 S_{11} - S_{n} = 110 - \frac{n ( 21 - n )}{2} = \frac{n ^{2} - 21 n}{2} + 110.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量 + 绝对值求和

核心方法： $(2 a_{2} + 2)^{2} = a_{1} \cdot 5 a_{3}$ → $d^{2} - 3 d - 4 = 0$ → $d = 4$ 或 $- 1$ ； $d < 0$ 时 $a_{n} = 11 - n$ ， $a_{11} = 0$ 分界： $n ⩽ 11$ 用 $S_{n}$ ， $n ⩾ 12$ 用 $2 S_{11} - S_{n}$

避坑指南：等比中项列方程后因式分解 $(d - 4) (d + 1) = 0$ 定双解，两解都要回代条件检验；绝对值求和先找符号分界点（ $a_{11} = 0$ ， $a_{12}$ 起为负）—— $n ⩾ 12$ 段的套路是”正段 $S_{11}$ + 负段绝对值 $= 2 S_{11} - S_{n}$ “，直接对 $∣ a_{1} ∣ + \dots + ∣ a_{n} ∣$ 逐项讨论会绕晕。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与绝对值求和（经典”先定分界、再分段求和”模型）。

结论推广： $a_{n} = 11 - n$ ： $a_{10} = 1 > 0$ ， $a_{11} = 0$ ， $a_{12} = - 1 < 0$ ； $S_{n} = \frac{n ( 21 - n )}{2}$ ； $n ⩾ 12$ 时 $\sum ∣ a_{i} ∣ = 2 S_{11} - S_{n} = \frac{n ^{2}}{2} - \frac{21 n}{2} + 110$ 。

方法推广：绝对值数列求和三步：定通项 → 找符号分界点 → 按 $n$ 的范围分段写出（正段直接 $S_{n}$ ，负段用 $2 S_{分界} - S_{n}$ ）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

2013-新课标II卷文-17 解-等差数列

2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和

2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和

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2013-浙江卷文-19 解-等差与绝对值求和

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