2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的线性运算。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知两个单位向量 $a$，$b$ 的夹角为 $60^{\circ }$，$c=ta+(1-t)b$，若 $b\cdot c=0$，则 $t=$　　　.

🔍【思路分析】

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1. 展开 $b\cdot c=tb\cdot a+(1-t)b\cdot b$。
2. $b\cdot a=|a||b|\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，$b\cdot b=1$，列方程解 $t$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $c=ta+(1-t)b$ 得 $b\cdot c=b\cdot \left[ta+(1-t)b\right]=tb\cdot a+(1-t)b\cdot b.$ 又 $|a|=|b|=1$，$⟨a,b⟩=60^{\circ }$，故 $b\cdot a=|a||b|\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，$b\cdot b=|b{|}^2=1$。 代入 $b\cdot c=0$： $\frac{t}{2}+(1-t)=0⟹1-\frac{t}{2}=0⟹t=2.$ 故 $t=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积

核心方法：数量积运算律展开 + 代入模与夹角

避坑指南：$b\cdot b=|b{|}^2=1$（不是 $b$）；数量积展开后是数而不是向量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积运算。

结论推广：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$，两单位向量的数量积等于夹角余弦。

方法推广：涉及 $b\cdot c=0$ 的向量题，先把 $c$ 用基底向量展开再算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-04 单-向量数量积
• 2015-新课标I卷文-02 单-平面向量