2013-安徽卷文-17 解-茎叶图与平均数

本题导读

本题考查简单随机抽样。核心在于概率与样本量互化、频率估计比例的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 $30$ 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 $0.05$，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（$60$ 分及 $60$ 分以上为及格）；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为 ${\bar{x}}_1$，${\bar{x}}_2$，估计 ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. $0.05=\frac{30}{n}$ → $n=600$。
2. 甲样本 $30$ 人中 $60$ 分以下有 $5$ 人 → 及格 $25$ 人 → 及格率估计 $\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$。
3. 由茎叶图，甲校样本总分与乙校样本总分相差 $15$ 分 → ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2=\frac{15}{30}=0.5$。

✅【答案】

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(1)甲校高三年级学生总人数为 $600$；及格率估计为 $\frac{5}{6}$ (2)${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2$ 的估计值为 $0.5$ 分

✍【详细解析】

Abstract

（1）设甲校高三年级学生总人数为 $n$。由简单随机抽样，每位学生被抽到的概率为 $\frac{样本量}{总体量}$，故 $\frac{30}{n}=0.05\Rightarrow n=\frac{30}{0.05}=600.$ 由茎叶图，甲校样本 $30$ 人中数学成绩在 $60$ 分以下（不及格）的有 $5$ 人，及格 $25$ 人，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为 $\frac{25}{30}=\frac{5}{6}.$ （2）用样本平均数估计总体平均数。由茎叶图逐数求和：甲校样本总分与乙校样本总分之差为 $15$ 分，于是 ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2=\frac{{\sum }_{甲}{x}_i}{30}-\frac{{\sum }_{乙}{x}_i}{30}=\frac{15}{30}=0.5,$ 故 ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2$ 的估计值为 $0.5$ 分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：茎叶图、随机抽样与样本平均数

核心方法：$n=\frac{30}{0.05}=600$；甲样本 $30$ 人中不及格 $5$ 人 → 及格率 $\frac{25}{30}=\frac{5}{6}$；由图求和 ${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2=\frac{15}{30}=0.5$

避坑指南：及格率是样本频率估计总体比例，写 $\frac{25}{30}$ 而不是拿 $600$ 去乘；${\bar{x}}_1-{\bar{x}}_2=\frac{{\sum }_{甲}-{\sum }_{乙}}{30}$——茎叶图中每个叶子都要读进求和，漏一行就会差零点几分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：随机抽样与茎叶图（用样本估计总体，安徽卷统计解答题）。

结论推广：抽取概率 $=\frac{样本量}{总体量}$；样本平均数 $\bar{x}=\frac{\sum x_i}{n}$。

方法推广：(1) 概率倒数求总体 → 数茎叶图不及格叶子 → 频率估计及格率；(2) 两侧逐数求和作差。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-18 解-茎叶图与平均数
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2014-广东卷文-17 解-统计特征数