2013-湖南卷理-06 单-向量模的性质

本题导读

本题考查向量的模与数量积，以及向量模的性质。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(理)） 已知 $\vec{a},\vec{b}$ 是单位向量，$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$.若向量 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$，则 $|\vec{c}|$ 的取值范围是()

A. $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]$　　B. $[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+2]$　　C. $[1,\sqrt{2}+1]$　　D. $[1,\sqrt{2}+2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析定向量 $\vec{a}+\vec{b}$：
   • $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量且互相垂直（$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$）。
   • 计算模长：$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}}=\sqrt{1^2+1^2+0}=\sqrt{2}$。
2. 构建几何模型：
   • 令 $\vec{d}=\vec{a}+\vec{b}$，则已知条件为 $|\vec{c}-\vec{d}|=1$。
   • 几何意义：在平面内，若 $\vec{c}$ 和 $\vec{d}$ 均以原点 $O$ 为起点，则向量 $\vec{c}$ 的终点 $C$ 在以 $\vec{d}$ 的终点 $D$ 为圆心，半径 $r=1$ 的圆上。
3. 确定最值：
   • $|\vec{c}|$ 表示点 $C$ 到原点 $O$ 的距离。
   • 根据几何性质：$|OC{|}_{\max }=|OD|+r$，$|OC{|}_{\min }=|OD|-r$（或使用三角不等式 $|\vec{d}|-1\le |\vec{c}|\le |\vec{d}|+1$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算已知向量的和模 由 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2+{\vec{b}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=1+1+0=2$ 所以 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2}$。

第二步：利用几何意义转化 设 $\vec{D}=\vec{a}+\vec{b}$，则 $|\vec{c}-\vec{D}|=1$。 这表示 $\vec{c}$ 的终点轨迹是一个圆，圆心 $D$ 到原点的距离为 $\sqrt{2}$，半径为 $1$。

第三步：求 $|\vec{c}|$ 的范围 根据向量模的不等式： $||\vec{c}|-|\vec{a}+\vec{b}||\le |\vec{c}-(\vec{a}+\vec{b})|=1$ 即： $-1\le |\vec{c}|-\sqrt{2}\le 1$ 解得： $\sqrt{2}-1\le |\vec{c}|\le \sqrt{2}+1$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模的定义及其在几何上的圆模型应用。

核心方法：“几何圆模型”。将向量减法的模看作两点间的距离，即 $|\vec{z}-{\vec{z}}_0|=r$ 代表圆。

避坑指南：不要遗漏 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ 的条件，这是求出圆心到原点距离的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极化恒等式、向量的坐标运算法。

结论推广：对任意向量 $\vec{a},\vec{b}$，若 $|\vec{c}-\vec{a}|=r$，则 $|\vec{a}|-r\le |\vec{c}|\le |\vec{a}|+r$（需注意左侧取绝对值，若 $|\vec{a}|<r$ 则最小值为 $0$）。

方法推广：“几何圆模型”。将向量减法的模看作两点间的距离，即 $|\vec{z}-{\vec{z}}_0|=r$ 代表圆。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-北京卷-06 单-向量的模
• 2015-上海卷文-13 填-向量的模
• 2014-湖南卷文-10 单-向量模