2014-浙江卷理-08 单-向量模的性质

本题导读

本题考查平面向量模的不等式性质。通过引入最大值和最小值的定义，考查向量加减法的几何意义（平行四边形对角线）以及向量模平方的平行四边形恒等式，具有较强的逻辑推导性。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)） 记 $\max \{x,y\}=\{\begin{array}{l}x,x\ge y\\ y,x<y\end{array}$，$\min \{x,y\}=\{\begin{array}{l}y,x\ge y\\ x,x<y\end{array}$.设 $\vec{a},\vec{b}$ 为平面向量，则()

A. $\min \{|\vec{a}+\vec{b}|,|\vec{a}-\vec{b}|\}\le \min \{|\vec{a}|,|\vec{b}|\}$

B. $\min \{|\vec{a}+\vec{b}|,|\vec{a}-\vec{b}|\}\ge \min \{|\vec{a}|,|\vec{b}|\}$

C. $\max \{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2,|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\}\le |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$

D. $\max \{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2,|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\}\ge |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 特殊值法快速排除：

   • 令 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,0)$，则 $\min \{1,1\}=1$，$\min \{1,0\}=0$。$1>0$，排除 A。

   • 令 $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(1,0)$，则 $\vec{a}+\vec{b}=(2,0),\vec{a}-\vec{b}=(0,0)$。$\min \{2,0\}=0$，$\min \{1,1\}=1$。$0<1$，排除 B。

2. 利用平行四边形恒等式：

   • 核心公式：$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$。

3. 代数推导：

   • 根据最大值的定义，$\max \{x,y\}$ 必然大于或等于其算术平均数 $\frac{x+y}{2}$。

   • 将 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2$ 和 $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$ 代入平均值公式，利用恒等式即可得出结论。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：几何意义分析

由向量运算的平行四边形法则可知，$|\vec{a}+\vec{b}|$ 和 $|\vec{a}-\vec{b}|$ 分别表示以 $\vec{a},\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的两条对角线长度。

由特殊位置分析可知，两条对角线中较短的一条不一定大于或小于两条邻边中较短的一条。

第二步：代数证明

已知平行四边形恒等式：

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)$

对于任意实数 $x,y$，可知有：

$\max \{x,y\}\ge \frac{x+y}{2}$

（当且仅当 $x=y$ 时取等号）

设 $x=|\vec{a}+\vec{b}{|}^2,y=|\vec{a}-\vec{b}{|}^2$，代入上式得：

$\max \{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2,|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\}\ge \frac{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2+|\vec{a}-\vec{b}{|}^2}{2}$

将平行四边形恒等式代入分子：

$\max \{|\vec{a}+\vec{b}{|}^2,|\vec{a}-\vec{b}{|}^2\}\ge \frac{2(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2)}{2}=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量模平方的运算及平行四边形恒等式。

2. 核心方法：算术平均值法。掌握“最大值 $\ge$ 平均值 $\ge$ 最小值”这一逻辑，是解决带有 $\max /\min$ 符号不等式题目的金钥匙。

3. 避坑指南：不要试图通过画图来穷举所有 A、B 的可能性，向量方向的多变性会让几何直观变得复杂，此时代数法更稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 余弦定理在向量运算中的体现 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}$。

2. 结论推广: 在内积空间中，平行四边形恒等式是判断空间性质（如希尔伯特空间）的重要依据。

3. 方法推广: 面对这类抽象结论的选择题，特殊值法（如取垂直、共线或零向量）通常能排除掉 75% 的干扰项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-06 单-向量模的性质
• 2026-北京卷-06 单-向量的模
• 2015-上海卷文-13 填-向量的模