2014-安徽卷文-17 解-统计与独立性检验

本题导读

三问层层递进：抽样数 → 直方图读频率 → 补列联表算 $K^2$ 与临界值比较。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(文)） 某高校共有学生 $15000$ 人，其中男生 $10500$ 人，女生 $4500$ 人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 $300$ 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.

(1) 应收集多少位女生样本数据？

(2) 根据这 $300$ 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：$[0,2]$，$(2,4]$，$(4,6]$，$(6,8]$，$(8,10]$，$(10,12]$.估计该校学生每周平均体育运动时间超过 $4$ 小时的概率；

(3) 在样本数据中，有 $60$ 位女生的每周平均体育运动时间超过 $4$ 个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95\%$ 的把握认为”该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$P(K^2⩾k_0)=0.05$ 时 $k_0=3.841$.


🔍【思路分析】

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(2)组距为 2，超 4 小时的频率 = 后四组纵坐标之和 × 2；(3)男生样本 $210$ 人、女生 $90$ 人是列联表的边框。

✅【答案】

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(1)$90$ 位；(2)$0.75$；(3)$K^2\approx 4.762>3.841$，有 $95\%$ 的把握认为有关

✍【详细解析】

Abstract

(1)女生比例为 $\frac{4500}{15000}$，应收集女生样本 $300\times \frac{4500}{15000}=90$ 位。 (2) 各组组距均为 $2$，超过 $4$ 小时的频率为 $2(0.150+0.125+0.075+0.025)=0.75$，故估计概率为 $0.75$。 (3) 样本中超过 $4$ 小时的共 $300\times 0.75=225$ 人。女生：超过 $4$ 小时 $60$ 人，不超过 $90-60=30$ 人；男生：样本 $300\times \frac{10500}{15000}=210$ 人，超过 $225-60=165$ 人，不超过 $210-165=45$ 人。 $K^2=\frac{300(45\times 60-165\times 30{)}^2}{210\times 90\times 75\times 225}\approx 4.762>3.841$，故有 $95\%$ 的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样、频率分布直方图与独立性检验

2. 核心方法：三问递进：抽样数 → 频率估计 → $K^2$ 检验

3. 避坑指南：直方图纵轴是”频率/组距”，频率 = 纵坐标 × 组距，别把纵坐标直接当频率；$K^2$ 公式中 $a,b,c,d$ 的位置按列联表对号入座，判断标准 $3.841$ 对应 $95\%$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 统计大题三合一（抽样 + 直方图 + 独立性检验）是新课标卷高频结构。

2. 结论推广: 推广：$K^2$ 越大相关性越强；临界值 $3.841$、$6.635$ 分别对应 $95\%$、$99\%$ 把握。

3. 方法推广: 统计解答题标准动作：边框数先行（男女样本数）→ 表内数据由总量倒推 → 代公式 → 对临界值下结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计
• 2015-安徽卷文-17 解-频率分布直方图