2014-北京卷文-18 解-频率分布直方图

本题导读

(1) 概率约 0.9；(2) $a=0.085$，$b=0.125$；(3) 平均数 7.68，落在第 4 组。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(文)） 从某校随机抽取 100 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

组号	分组	频数
1	$[0,2)$	6
2	$[2,4)$	8
3	$[4,6)$	17
4	$[6,8)$	22
5	$[8,10)$	25
6	$[10,12)$	12
7	$[12,14)$	6
8	$[14,16)$	2
9	$[16,18)$	2
合计		100

(1) 从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率；

(2) 求频率分布直方图中的 $a$，$b$ 的值；

(3) 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的 100 名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.（只需写出结论）

🔍【思路分析】

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(1) 概率约 0.9；(2) $a=0.085$，$b=0.125$；(3) 平均数 7.68，落在第 4 组。

✅【答案】

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(1) 约 0.9 (2) $a=0.085$，$b=0.125$ (3) 第 4 组

✍【详细解析】

Abstract

(1) 少于 12 小时的数据为前 6 组，频数和 $6+8+17+22+25+12=90$，频率 $\frac{90}{100}=0.9$。

所以估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9。

(2) 组距为 2，直方图的纵坐标为频率/组距。

第三组 $[4,6)$ 频数 17，频率 0.17，$a=\frac{0.17}{2}=0.085$；

第五组 $[8,10)$ 频数 25，频率 0.25，$b=\frac{0.25}{2}=0.125$。

(3) 各组中点依次为 $1,3,5,7,9,11,13,15,17$，平均数的估计值

$\bar{x}=\frac{1\times 6+3\times 8+5\times 17+7\times 22+9\times 25+11\times 12+13\times 6+15\times 2+17\times 2}{100}=\frac{768}{100}=7.68$。

$6\le 7.68<8$，所以样本平均数落在第 4 组。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图（纵坐标 = 频率/组距）；用样本估计总体（概率与平均数）

2. 核心方法：频数 → 频率 → 频率/组距 三步换算；组中值加权求平均

3. 避坑指南：①直方图纵坐标是”频率/组距”而不是频率——$a$、$b$ 都要除以组距 2，直接写 0.17、0.25 就错了；②”少于 12 小时”是前 6 组 $[0,12)$，别把 $[12,14)$ 算进去；(3) 用组中值加权后要回头核对 $7.68\in [6,8)$ 才能报组号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 统计常规解答题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 18 题（同型直方图）、2007 年山东卷理第 8 题同族。

2. 结论推广: 一般地，直方图中每组频率 = 纵坐标 × 组距，各矩形面积之和为 1；平均数用组中值加权估计，属于”估计”而非精确值。

3. 方法推广: 统计图表题三步：读图表 → 按定义换算（频率/组距）→ 按公式估计（概率、平均数、百分位数）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计
• 2007-山东卷理-08 单-频率频数转化