2013-辽宁卷文-04 单-等差数列命题判断

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及递增数列的概念。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 下面是关于公差 $d>0$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的四个命题： $p_1$：数列 $\{a_n\}$ 是递增数列； $p_2$：数列 $\{n{a}_n\}$ 是递增数列； $p_3$：数列 $\left\{\frac{a_n}{n}\right\}$ 是递增数列； $p_4$：数列 $\{a_n+3nd\}$ 是递增数列. 其中的真命题为()

A. $p_1$，$p_2$　　　　B. $p_3$，$p_4$　　　　C. $p_2$，$p_3$　　　　D. $p_1$，$p_4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_n=a_1+(n-1)d$，$d>0$ → $p_1$ 真。
2. $a_n+3nd=a_1-d+4nd$ 关于 $n$ 一次递增 → $p_4$ 真。
3. $n{a}_n=d{n}^2+(a_1-d)n$ 二次结构不保证递增 → $p_2$ 假；$\frac{a_n}{n}=d+\frac{a_1-d}{n}$ 当 $a_1>d$ 时递减 → $p_3$ 假。

✅【答案】

点击查看答案

（D）

✍【详细解析】

Abstract

$a_n=a_1+(n-1)d=a_1-d+nd$（$d>0$）。 $p_1$：$a_{n+1}-a_n=d>0$，递增，真。 $p_4$：$a_n+3nd=a_1-d+4nd$，是关于 $n$ 的一次式且系数 $4d>0$，递增，真。 $p_2$：$n{a}_n=n(a_1-d+nd)=d{n}^2+(a_1-d)n$。取 $a_1=-10$，$d=1$（满足 $d>0$）：$a_1=-10$，$a_2=-9$，则 $1\times a_1=-10$，$2\times a_2=-18<-10$，数列 $\{n{a}_n\}$ 前段递减，$p_2$ 假。 $p_3$：$\frac{a_n}{n}=\frac{a_1-d}{n}+d$。当 $a_1>d$ 时 $\frac{a_1-d}{n}>0$ 且随 $n$ 增大递减，整体递减。如 $a_1=3$，$d=1$：$\frac{a_1}{1}=3>\frac{a_2}{2}=2$，$p_3$ 假。 综上，真命题为 $p_1$，$p_4$。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的命题判断（递增性）

核心方法：$a_n=a_1+(n-1)d$：$d>0$ 一次递增，$p_1$ 真；$a_n+3nd=a_1-d+4nd$ 一次递增，$p_4$ 真；$n{a}_n$、$\frac{a_n}{n}$ 是 $n$ 的分式/二次结构，未必递增

避坑指南：判断”数列递增”盯通项关于 $n$ 的结构：一次式（系数为正）必增；$n{a}_n=d{n}^2+(a_1-d)n$ 顶点位置不定，举反例 $a_1$ 很大即可否定；$\frac{a_n}{n}=d+\frac{a_1-d}{n}$ 在 $a_1>d$ 时递减——“含 $n$ 的分式”别凭直觉当递增。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列通项结构与递增性判断（真假命题）。

结论推广：通项结构分析；构造反例。

方法推广：把各通项化成 $n$ 的显式 → 一次式判增 → 分式/二次举反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-07 单-等差数列基本量
• 2013-福建卷文-17 解-等差数列基本量
• 2014-重庆卷文-02 单-等差数列