2013-福建卷文-17 解-等差数列基本量

本题导读

本题考查等差数列的通项与前n项和。核心在于基本量法、二次不等式求解的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$.

(1)若 $1$，$a_1$，$a_3$ 成等比数列，求 $a_1$；

(2)若 $S_5>a_1{a}_9$，求 $a_1$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. (1) 等比中项：$a_1^2=1\times a_3$，而 $a_3=a_1+2$ → $a_1^2-a_1-2=0$ → $a_1=2$ 或 $a_1=-1$。
2. (2) $S_5=5a_1+10$，$a_9=a_1+8$ → $5a_1+10>a_1^2+8a_1$ → $a_1^2+3a_1-10<0$ → $(a_1+5)(a_1-2)<0$ → $-5<a_1<2$。

✅【答案】

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(1)$a_1=2$ 或 $a_1=-1$ (2)$a_1$ 的取值范围为 $(-5,2)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $d=1$：$a_3=a_1+2d=a_1+2$，$a_9=a_1+8d=a_1+8$，$S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}\times 1=5a_1+10$。 （1）$1$，$a_1$，$a_3$ 成等比数列，则 $a_1^2=1\times a_3$，即 $a_1^2=a_1+2\Rightarrow a_1^2-a_1-2=0\Rightarrow (a_1-2)(a_1+1)=0,$ 解得 $a_1=2$ 或 $a_1=-1$。 （2）$S_5>a_1{a}_9$，即 $5a_1+10>a_1(a_1+8)\Rightarrow a_1^2+3a_1-10<0\Rightarrow (a_1+5)(a_1-2)<0,$ 解得 $-5<a_1<2$。 故 $a_1$ 的取值范围为 $(-5,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的基本量与不等式

核心方法：(1) $a_1^2=1\cdot a_3=a_1+2$ → $a_1=2$ 或 $-1$；(2) $S_5>a_1{a}_9$ 即 $5a_1+10>a_1(a_1+8)$ → $(a_1+5)(a_1-2)<0$ → $a_1\in (-5,2)$

避坑指南：(1) 中”成等比”是 $a_1^2=1\times a_3$，别写成 $a_1^2=a_3^2$；(2) 化简后是二次不等式 $a_1^2+3a_1-10<0$，开口向上取”两根之间”，写成 $a_1<-5$ 或 $a_1>2$ 就是方向搞反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列的基本量运算（等比中项条件 + 前n项和不等式，福建卷解答题首题）。

结论推广：等差通项 $a_n=a_1+(n-1)d$；$S_5=5a_1+10d$；等比中项 $b^2=ac$。

方法推广：通项、求和全部用 $a_1$ 与 $d$ 表示 → 条件化为 $a_1$ 的方程/不等式 → 解二次不等式取开区间。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2013-北京卷文-11 填-等比数列求和