2013-辽宁卷文-22 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查几何证明选讲。核心在于弦切角定理、三角函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年辽宁卷(文)） 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 直径，直线 $CD$ 与 $\odot O$ 相切于 $E$，$AD$ 垂直 $CD$ 于 $D$，$BC$ 垂直 $CD$ 于 $C$，$EF$ 垂直 $AB$ 于 $F$，连接 $AE$，$BE$. 证明：

(1)$\angle FEB=\angle CEB$；

(2)$E{F}^2=AD\cdot BC$.

🔍【思路分析】

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1. $(1)$ $\angle FEB=90^{\circ }-\angle ABE=\angle EAB$（弦切角 $\angle CEB=\angle EAB$）。
2. $(2)$ 设 $\angle EAB=\beta$：$AD=AE\cos \beta$，$BC=BE\sin \beta$，$EF=AE\sin \beta =BE\cos \beta$ → $AD\cdot BC=E{F}^2$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1） $AB$ 为直径，$E$ 在圆上，故 $\angle AEB=90^{\circ }$。 在 $\mathrm{Rt}△EFB$ 中，$\angle FEB=90^{\circ }-\angle FBE=90^{\circ }-\angle ABE$； 在 $\mathrm{Rt}△AEB$ 中，$\angle EAB=90^{\circ }-\angle ABE$。 故 $\angle FEB=\angle EAB$。 又 $CD$ 与 $\odot O$ 相切于 $E$，由弦切角定理，$\angle CEB$（切线与弦 $EB$ 的夹角）等于弦 $EB$ 所对的圆周角 $\angle EAB$。 所以 $\angle FEB=\angle CEB$。 （2） 设 $\angle EAB=\beta$，则 $AE=AB\cos \beta$，$BE=AB\sin \beta$。

• $EF\perp AB$：在 $\mathrm{Rt}△AEF$ 中，$EF=AE\sin \beta =AB\sin \beta \cos \beta$。
• $AD\perp CD$：$CD$ 是切线，$\angle AED=90^{\circ }-\beta$（$E$ 处 $\angle AEB=90^{\circ }$、$\angle CEB=\beta$，三个角在 $E$ 点的一侧拼成平角：$\angle AED+\angle AEB+\angle BEC=180^{\circ }$）。在 $\mathrm{Rt}△ADE$ 中，$\angle DAE=\beta$，$AD=AE\cos \beta =AB{\cos }^2\beta$。
• $BC\perp CD$：在 $\mathrm{Rt}△BCE$ 中，$\angle CEB=\beta$，$BC=BE\sin \beta =AB{\sin }^2\beta$。 于是 $AD\cdot BC=A{B}^2{\sin }^2\beta {\cos }^2\beta =(AB\sin \beta \cos \beta {)}^2=E{F}^2.$ 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何证明选讲（弦切角 + 射影类计算）

核心方法：$(1)$ $\angle FEB=90^{\circ }-\angle ABE=\angle EAB=\angle CEB$（弦切角）；$(2)$ 设 $\angle EAB=\beta$：$AD=AE\cos \beta$，$BC=BE\sin \beta$，$EF=AE\sin \beta =BE\cos \beta$ → $AD\cdot BC=(AE\cos \beta )(BE\sin \beta )=E{F}^2$

避坑指南：$(1)$ 弦切角 $\angle CEB=\angle EAB$ 与”直角三角形两锐角互余”各走一半；$(2)$ 在三个直角三角形里用同一个角 $\beta$ 表线段：$△ADE$ 中 $AD=AE\cos \beta$、$△BCE$ 中 $BC=BE\sin \beta$、$△AEF$ 中 $EF=AE\sin \beta$、$△BEF$ 中 $BE\cos \beta =EF$——四个式子一拼即得，不必硬套相似。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲（弦切角定理 + 直角三角形中的线段计算）。

结论推广：弦切角定理；解直角三角形。

方法推广：设公共角 $\beta$ → 各直角三角形逐段表线段 → 乘积拼合。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷文-07 单-圆的切线
• 1977-北京理-09