2011-广东卷文-15 填-几何证明选讲梯形

本题导读

本题考查梯形中的平行截线，以及比例线段。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 〔选修 4-1：几何证明选讲〕

如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，$AB=4$，$CD=2$，$E$，$F$ 分别为 $AD$，$BC$ 上的点，且 $EF=3$，$EF\parallel AB$，则梯形 $ABFE$ 与梯形 $EFCD$ 的面积比为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：平行截线长度随高度线性变化：$EF=(1-r)AB+rCD$
2. 步骤2：解出 $r=\frac{1}{2}$ 后按梯形面积公式求比

✅【答案】

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$7:5$

✍【详细解析】

Abstract

设梯形 $ABCD$ 的高为 $h$，$\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}=r$。

平行于底边的截线段长度随高度线性变化：$EF=(1-r)AB+rCD=4-2r$。

由 $EF=3$ 得 $r=\frac{1}{2}$，即 $E$，$F$ 为两腰中点，两个小梯形的高均为 $\frac{h}{2}$。

$S_{ABFE}=\frac{1}{2}(AB+EF)\cdot \frac{h}{2}=\frac{1}{2}\times 7\times \frac{h}{2}=\frac{7h}{4}$；

$S_{EFCD}=\frac{1}{2}(EF+CD)\cdot \frac{h}{2}=\frac{1}{2}\times 5\times \frac{h}{2}=\frac{5h}{4}$。

面积比为 $7:5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平行线分线段成比例；截线长度的线性插值；梯形面积公式

核心方法：用”平行截线线性内插”把 $EF$ 写成上下底的加权平均，定 $r$ 后面积比化为两中位长之比

避坑指南：$EF$ 是上、下底的加权平均（权 $1-r$ 与 $r$），“中位长 $=\frac{AB+CD}{2}$“只有在 $r=\frac{1}{2}$ 时才成立——本题须先由 $EF=3$ 解出 $r=\frac{1}{2}$ 再用，不能默认；面积比是 $(4+3):(3+2)=7:5$，误用”上底比下底”得 $4:2$ 是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲（梯形截线）题与 2014-广东卷文-15、2013-新课标I卷文-22、2013-辽宁卷文-22 同族。

结论推广：推广：梯形中平行于底的截线把高按 $1-r:r$ 分比时，截线长为上、下底的加权平均 $\frac{n\cdot AB+m\cdot CD}{m+n}$（高比 $m:n$）；两个小梯形面积比 =（上段中位长 × 上段高）：（下段中位长 × 下段高），中位线情形即 $m=n$。

方法推广：平面几何填空题：抓”平行截线 = 线性内插”这一主线索，比例全部化归到一个参数 $r$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-15 填-几何证明选讲
• 2013-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲
• 2013-辽宁卷文-22 解-几何证明选讲