2013-重庆卷理-11 填-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的除法。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 已知复数 $z=\frac{5i}{1+2i}$（$i$ 是虚数单位），则 $|z|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解复数模的定义：若复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
2. 选择计算策略：
   • 策略一（常规法）：先进行复数除法（乘以共轭复数 $\frac{1-2i}{1-2i}$）将 $z$ 化为 $a+bi$ 的标准形式，再求模。
   • 策略二（性质法）：利用公式 $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$，分别计算分子和分母的模，然后相除。
3. 执行计算：策略二明显计算量更小，更高效。

✅【答案】

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$\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：应用复数模的性质 对于复数 $z=\frac{5i}{1+2i}$，其模满足： $|z|=\left|\frac{5i}{1+2i}\right|=\frac{|5i|}{|1+2i|}$

第二步：分别计算分子和分母的模

• 分子：$z_1=5i=0+5i$，则 $|5i|=\sqrt{0^2+5^2}=5$。
• 分母：$z_2=1+2i$，则 $|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。

第三步：求最终比值 $|z|=\frac{5}{\sqrt{5}}$ 分母有理化得： $|z|=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$

故答案为：$\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模的性质及其运算。

核心方法：“模运算优先”。在求商或积的模时，先求模再运算比先运算再求模要简单得多。同理有 $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$。

避坑指南：复数除法运算容易在符号上出错（如 $i^2=-1$），利用性质法可以完美避开这些中间陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共轭复数、复数的几何意义。

结论推广：对于更复杂的复数，如 $z=\frac{(3+4i)(1-2i)}{2+i}$，求其模同样推荐使用分拆求模法。

方法推广：在坐标系中，复数的模代表复平面上点到原点的距离。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法