2013-山东卷文-16 填-正对数新定义

本题导读

本题考查函数的新定义，以及对数函数。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 定义”正对数”：${\ln }^{+}x=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<1,\\ \ln x,& x⩾1.\end{array}$ 现有四个命题： ① 若 $a>0$，$b>0$，则 ${\ln }^{+}(a^b)=b{\ln }^{+}a$； ② 若 $a>0$，$b>0$，则 ${\ln }^{+}(ab)={\ln }^{+}a+{\ln }^{+}b$； ③ 若 $a>0$，$b>0$，则 ${\ln }^{+}\left(\frac{a}{b}\right)⩾{\ln }^{+}a-{\ln }^{+}b$； ④ 若 $a>0$，$b>0$，则 ${\ln }^{+}(a+b)⩽{\ln }^{+}a+{\ln }^{+}b+\ln 2$. 其中真命题有$\underline{}$.（写出所有真命题的编号）

🔍【思路分析】

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1. ①：$a⩾1$ 时 $a^b⩾1$，两边 $=b\ln a$；$0<a<1$ 时 $a^b<1$，两边为 $0$。真。
2. ②：取 $a=4$，$b=\frac{1}{2}$：左边 ${\ln }^{+}2=\ln 2$，右边 $\ln 4+0=\ln 4$。假。
3. ③④：按 $a$、$b$ 与 $1$ 的大小分域逐段核验，均成立。

✅【答案】

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①③④

✍【详细解析】

Abstract

按 ${\ln }^{+}$ 的定义分段验证： ① 对 $a>0$，$b>0$：若 $a⩾1$，则 $a^b⩾1$，左边 $=\ln a^b=b\ln a$，右边 $=b\ln a$，相等；若 $0<a<1$，则 $0<a^b<1$，左边 $=0$，右边 $=b\times 0=0$，相等。①真。 ② 取 $a=4$，$b=\frac{1}{2}$：$ab=2$，左边 $={\ln }^{+}2=\ln 2$；右边 $={\ln }^{+}4+{\ln }^{+}\frac{1}{2}=\ln 4+0=\ln 4$。$\ln 2\ne \ln 4$，②假。 ③ 分域核验：$a⩾1$ 且 $b⩾1$ 时，$\frac{a}{b}⩾1$ 则左边 $=\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b=$ 右边，$\frac{a}{b}<1$ 则左边 $=0>$ 负的右边；$a⩾1>b$ 时，左边 $=\ln \frac{a}{b}>\ln a=$ 右边；$0<a<1$ 时右边 $=-{\ln }^{+}b⩽0⩽$ 左边。恒成立，③真。 ④ 分域核验：$a⩾1$ 且 $b⩾1$ 时，需 $\ln (a+b)⩽\ln (2ab)$，即 $a+b⩽2ab$；由 $2ab-a-b=a(b-1)+b(a-1)⩾0$ 成立；$a⩾1>b$ 时，需 $a+b⩽2a$，由 $b<a$ 成立；$0<a<1$ 且 $0<b<1$ 时，左边 $=0⩽$ 右边。恒成立，④真。 综上，真命题为①③④。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义”正对数”与命题真假

核心方法：${\ln }^{+}x=\{\begin{array}{ll}0,& 0<x<1,\\ \ln x,& x⩾1\end{array}$：①（幂）真、③（商）真、④（和 + $\ln 2$）真，②（积）假（$a=4,b=\frac{1}{2}$ 反例）

避坑指南：新定义真假判断按 $a$、$b$ 与 $1$ 的大小分域验证：②取 $a=4$、$b=\frac{1}{2}$——左边 ${\ln }^{+}2=\ln 2$、右边 $\ln 4+0$，立判假；①必须按 $a^b$（幂）理解，与 $a$、$b$ 谁大于 $1$ 无关地成立；③④逐域核验不等号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数新定义与命题真假的判断（山东卷压轴填空特色）。

结论推广：${\ln }^{+}x$ 在 $x<1$ 时归零、$x⩾1$ 时取 $\ln x$；分段函数的不等式按定义域逐段讨论。

方法推广：新定义多命题题：先吃透定义的分段边界 → 每个命题取代表值（尤其”一边小于 1”的混合情形）验证 → 写出全部真命题编号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-08 单-对数比较大小
• 2014-上海卷文-22 解-曲线分隔线