2014-上海卷理-02 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的基本运算，重点在于利用复数与其共轭复数之积等于模的平方这一性质进行简便计算，避免繁琐的除法运算。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 若复数 $z=1+2i$，其中 $i$ 是虚数单位，则 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\cdot \bar{z}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分配律法：将 $\bar{z}$ 分配进括号，原式 $=z\cdot \bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}\cdot \bar{z}=z\bar{z}+1$。
2. 性质法（推荐）：利用复数性质 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$，第一项直接变为 $|z{|}^2$；第二项 $\frac{1}{\bar{z}}\cdot \bar{z}=1$，无需任何除法运算。
3. 直接代入 $z=1+2i$ 也可求解，但需对 $\frac{1}{\bar{z}}$ 实数化，计算量偏大。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用分配律展开 $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\cdot \bar{z}=z\cdot \bar{z}+\frac{1}{\bar{z}}\cdot \bar{z}=z\cdot \bar{z}+1$

第二步：计算模的平方 已知 $z=1+2i$，则其模的平方为： $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}=1^2+2^2=5$

第三步：求值 原式 $=|z{|}^2+1=5+1=6$。

故答案为 6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘法运算与共轭复数的性质。

2. 核心方法：利用 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ 把原式化为 $|z{|}^2+1$ 直接求值。

3. 避坑指南：分式运算 $\frac{1}{z}$ 建议先转化为 $\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$，变除法为乘法，减少实数化分母的出错率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共轭复数的性质 $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$。

2. 结论推广: $\left(z+\frac{1}{\bar{z}}\right)\cdot \bar{z}=|z{|}^2+1$。

3. 方法推广: 含 $\frac{1}{z}$ 的复数式先化为 $\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$，变除法为乘法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

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• 2015-新课标II卷文-02 单-复数运算
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