2015-上海卷理-02 填-共轭复数

本题导读

本题考查复数的代数表示及共轭复数的概念。通过设 $z=a+bi$，利用复数相等的充要条件（实部等于实部，虚部等于虚部）建立方程组求解。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 若复数 $z$ 满足 $3z+\bar{z}=1+i$，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设代数形式：设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$。
2. 代入等式：将 $z$ 和 $\bar{z}$ 代入已知方程 $3z+\bar{z}=1+i$。
3. 整理方程：展开并按照实部、虚部分类整理。
4. 建立方程组：利用复数相等的性质，令左右两边的实部相等、虚部相等。
5. 求解得出结果：解方程组求出 $a$ 和 $b$。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$)，则 $\bar{z}=a-bi$。 代入方程 $3z+\bar{z}=1+i$ 得： $3(a+bi)+(a-bi)=1+i$ 展开左边： $3a+3bi+a-bi=1+i$ 合并同类项： $4a+2bi=1+i$ 根据复数相等的充要条件，得： $\{\begin{array}{l}4a=1\\ 2b=1\end{array}$ 解得： $\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{4}\\ b=\frac{1}{2}\end{array}$ 所以 $z=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$。

答案：$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}i$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：共轭复数的定义（实部相同，虚部相反）；复数相等。
• 核心方法：待定系数法。这是处理涉及 $z$ 与 $\bar{z}$ 混合运算方程的通用手段。
• 避坑指南：计算 $3bi-bi$ 时注意系数，不要漏掉虚数单位 $i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 复数相等的本质是两个实数方程。 *方法推广: 遇到 $|z|$、$\bar{z}$ 与 $z$ 同时出现的等式，通常都设 $z=a+bi$ 转化为实数方程组求解。

• 相关知识点：复数的模、复平面的坐标表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

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