2014-上海卷理-09 填-幂函数图象

本题导读

本题考查幂函数的定义域及图象特征。通过比较两个幂函数在同一坐标系下的相对位置，直观求解不等式，重点在于确定函数的有效定义域。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 若 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}$，则满足 $f(x)<0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定定义域：首先分析 $f(x)$ 的解析式。$x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，根据根号及分母的限制，必须满足 $x>0$。
2. 转化不等式：将 $f(x)<0$ 转化为 $x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$。
3. 数形结合：在同一坐标系中画出 $y=x^{\frac{2}{3}}$ 和 $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 的图象。
   • $y=x^{\frac{2}{3}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且过点 $(1,1)$。
   • $y=x^{-\frac{1}{2}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，且过点 $(1,1)$。
4. 寻找交点与范围：观察图象，寻找在哪个区间内递减函数位于递增函数之上。

✅【答案】

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$(0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定函数的定义域 对于函数 $f(x)=x^{\frac{2}{3}}-x^{-\frac{1}{2}}$：

• $x^{\frac{2}{3}}$ 的定义域为 $\mathbb{R}$；
• $x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 要求 $x>0$。 故函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$。

第二步：数形结合分析 不等式 $f(x)<0$ 等价于 $x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$。 令 $y_1=x^{\frac{2}{3}}$，$y_2=x^{-\frac{1}{2}}$。

• 当 $x=1$ 时，$y_1=1^{\frac{2}{3}}=1$，$y_2=1^{-\frac{1}{2}}=1$，两图象交于点 $(1,1)$。
• 在区间 $(0,1)$ 内，$y_1$ 从 $0$ 增加到 $1$，$y_2$ 从 $+\infty$ 减小到 $1$。显见在此区间内 $y_2>y_1$，即 $x^{-\frac{1}{2}}>x^{\frac{2}{3}}$。
• 在区间 $(1,+\infty )$ 内，$y_1$ 继续增大且大于 $1$，$y_2$ 继续减小且小于 $1$。显见在此区间内 $y_1>y_2$。

第三步：得出结论 综上所述，满足 $x^{\frac{2}{3}}<x^{-\frac{1}{2}}$ 的 $x$ 取值范围是 $(0,1)$。

故答案为 $(0,1)$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：幂函数 $y=x^{\alpha }$ 当 $\alpha >0$ 时在第一象限递增，当 $\alpha <0$ 时在第一象限递减且以坐标轴为渐近线。

2. 核心方法：图象法。对于这类无法直接提取公因式或化简的幂指不等式，通过图象观察单调性和交点是最稳妥的办法。

3. 避坑指南：切记先求定义域。如果忽略 $x>0$ 的限制，可能会误考虑负数区间，而本题中 $x^{-\frac{1}{2}}$ 在负数域无意义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反比例函数、指数爆炸与对数增长的比较。

2. 结论推广: 对于 $x^{\alpha }<x^{\beta }$ ($x>0$)，当 $x\in (0,1)$ 时，指数大的反而值小；当 $x\in (1,+\infty )$ 时，指数大的值大。

3. 方法推广: 涉及多个函数和差的不等式，均可尝试移项后构造两个简单函数图象进行对比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-05 单-函数图象
• 2015-新课标II卷文-11 单-函数图象
• 2014-福建卷文-08 单-函数图象