2014-上海卷理-22 解-点与直线的位置关系

本题导读

本题是典型的解析几何综合新定义题。考查了对“分割线”定义的深入理解。通过代数运算转化几何位置关系，第三问利用零点存在性定理证明直线与曲线必有公共点，从而否定分割线的存在，逻辑严密，难度较大。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于直线 $l:ax+by+c=0$ 和点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$，记 $\eta =(a{x}_1+b{y}_1+c)(a{x}_2+b{y}_2+c)$.若 $\eta <0$，则称点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分割.若曲线 $C$ 与直线 $l$ 没有公共点，且曲线 $C$ 上存在点 $P_1,P_2$ 被直线 $l$ 分割，则称直线 $l$ 为曲线 $C$ 的一条分割线.

(1) 求证：点 $A(1,2),B(-1,0)$ 被直线 $x+y-1=0$ 分割；

(2) 若直线 $y=kx$ 是曲线 $x^2-4y^2=1$ 的分割线，求实数 $k$ 的取值范围；

(3) 动点 $M$ 到点 $Q(0,2)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为 1，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是 $E$ 的分割线.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解新定义：
   • 分割点：两点代入直线方程后的函数值异号，即两点分布在直线两侧。
   • 分割线：满足两个条件：①直线与曲线无交点；②曲线在直线两侧均有分布。
2. 第一问：直接代入 $\eta$ 公式计算即可。
3. 第二问：
   • 条件①：联立直线 $y=kx$ 与双曲线 $x^2-4y^2=1$，令 $\Delta <0$ 或考虑渐近线位置，确保无交点。
   • 条件②：双曲线是关于原点对称的图形，只要直线不穿过双曲线，且双曲线两支分布在直线两侧即可。
4. 第三问：
   • 首先求出 $M$ 的轨迹方程。
   • 考虑斜率不存在的直线 $x=0$，验证其是否满足定义。
   • 考虑斜率为 $k$ 的直线 $y=kx$，利用零点存在性定理证明该直线与曲线 $E$ 必有交点，从而排除其作为分割线的可能。

✅【答案】

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第 (1) 小题：求证分割；第 (2) 小题：求 $k$ 的范围；无公共点条件；存在分割点条件

✍【详细解析】

Abstract

第 (1) 小题：求证分割 设直线方程为 $f(x,y)=x+y-1$. 将 $A(1,2),B(-1,0)$ 代入得： $\eta =f(1,2)\cdot f(-1,0)=(1+2-1)\cdot (-1+0-1)=2\cdot (-2)=-4$. 因为 $\eta =-4<0$，所以点 $A,B$ 被直线 $x+y-1=0$ 分割。

第 (2) 小题：求 $k$ 的范围 已知曲线 $C:x^2-4y^2=1$，直线 $l:y=kx$.

1. 无公共点条件： 联立 $\{\begin{array}{l}{x}^2-4y^2=1\\ y=kx\end{array}⟹(1-4k^2)x^2=1$. 若要无解，需满足系数 $1-4k^2\le 0$，即 $k^2\ge \frac{1}{4}$，解得 $k\ge \frac{1}{2}$ 或 $k\le -\frac{1}{2}$.
2. 存在分割点条件： 双曲线 $x^2-4y^2=1$ 分为左右两支。直线 $y=kx$ 经过原点，只要直线斜率绝对值大于等于渐近线斜率 $\frac{1}{2}$，左右两支必然分别位于直线两侧。 综上所述，$k$ 的取值范围是 $(-\infty ,-\frac{1}{2}]\cup [\frac{1}{2},+\infty )$.

第 (3) 小题：证明唯一性

1. 求曲线 $E$ 的方程： 设 $M(x,y)$，由题意：$\sqrt{x^2+(y-2{)}^2}\cdot |x|=1$. 整理得：$[x^2+(y-2{)}^2]x^2=1$ …… ①

2. 验证直线 $x=0$：

• 公共点判定：当 $x=0$ 时，方程 ① 左边为 0，右边为 1，无解。故直线 $x=0$ 与曲线 $E$ 无公共点。

• 分割判定：取点 $P_1(1,2),P_2(-1,2)$。代入方程 ① 均成立，说明两点在曲线 $E$ 上。在直线 $x=0$ 中，$\eta =1\cdot (-1)=-1<0$，符合分割定义。 故 $x=0$ 是一条分割线。

3. 证明斜率为 $k$ 的直线 $y=kx$ 均不是分割线： 联立 $y=kx$ 与方程 ①： $x^2[x^2+(kx-2{)}^2]=1⟹(k^2+1)x^4-4k{x}^3+4x^2-1=0$. 设 $f(x)=(k^2+1)x^4-4k{x}^3+4x^2-1$.

• $f(0)=-1<0$.
• $f(1)=k^2+1-4k+4-1=k^2-4k+4=(k-2{)}^2\ge 0$.
• $f(-1)=k^2+1+4k+4-1=k^2+4k+4=(k+2{)}^2\ge 0$.
  • 若 $k\ne 2$，则 $f(1)>0$。由 $f(0)f(1)<0$ 知 $f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内必有实根。
  • 若 $k=2$，则 $f(-1)=(-2+2{)}^2=16>0$（此处注意代入）。由 $f(0)f(-1)<0$ 知在 $(-1,0)$ 内必有实根。 综上，无论 $k$ 取何值，直线 $y=kx$ 与曲线 $E$ 总有公共点，不符合“分割线”定义。

因此，通过原点的直线中有且仅有一条直线 $x=0$ 是 $E$ 的分割线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义“分割线”的理解与直线、曲线位置关系的判定。

2. 核心方法：零点存在性定理判定交点，构造完全平方式辅助判断。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 点代入直线方程所得函数值的符号与“两点在直线两侧”的几何对应。

2. 结论推广: 证明“有且仅有一条分割线”需同时证明存在性（找到 $x=0$）与唯一性（否定 $y=kx$）。

3. 方法推广: 零点存在性定理是处理复杂高次方程交点问题的利器。 2. 逻辑严密性：证明“有且仅有”需要两步：证明“有”（找到 $x=0$）和证明“除了它没别的”（否定 $y=kx$）。 3. 计算技巧：在第三问中，通过观察 $f(0)$ 的值以及 $f(1),f(-1)$ 构成的完全平方式，是快速破题的关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-08 单-直线与平面的位置关系
• 2013-广东卷理-06 单-直线与平面的位置关系
• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系