2014-北京卷理-09 填-复数除法

本题导读

本题考查复数代数形式的除法与乘方运算。解题关键在于熟练掌握虚数单位 $i$ 的性质以及复数除法中“分母实数化”的技巧。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)） 复数 $(\frac{1+i}{1-i}{)}^2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 优先化简括号内部：由于涉及除法，利用复数除法法则，将分子分母同乘以分母的共轭复数 $1+i$，使分母实数化。
2. 利用虚数单位性质：应用 $(1+i{)}^2=2i$ 以及 $i^2=-1$ 进行化简。
3. 计算乘方：将化简后的结果进行平方运算。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简括号内的复数 $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i{)}^2}{1^2-i^2}$ 根据完全平方公式 $(1+i{)}^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$， 以及分母 $1^2-i^2=1-(-1)=2$， 则有： $\frac{1+i}{1-i}=\frac{2i}{2}=i$

第二步：进行平方运算 $(\frac{1+i}{1-i}{)}^2=i^2=-1$

故答案为 $-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的除法与乘方。

2. 核心方法：分母实数化化简 $\frac{1+i}{1-i}=i$，再平方得 $-1$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 共轭复数乘法的分母实数化与 $i^2=-1$。

2. 结论推广: $\frac{1+i}{1-i}=i$，其平方为 $-1$。

3. 方法推广: 复数除法统一乘以分母共轭复数化简。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法