2014-辽宁卷文-12 单-不等式恒成立

本题导读

把 $a$ 分离出来：$x>0$ 时 $a⩾\frac{x^2-4x-3}{x^3}$，$x<0$ 时 $a⩽\frac{x^2-4x-3}{x^3}$。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 当 $x\in [-2,1]$ 时，不等式 $a{x}^3-x^2+4x+3⩾0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $[-5,-3]$　　　B. $\left[-6,-\frac{9}{8}\right]$　　　C. $[-6,-2]$　　　D. $[-4,-3]$

🔍【思路分析】

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分 $x=0$、$x>0$、$x<0$ 三种情形讨论，$x\ne 0$ 时把 $a$ 分离到一侧再求最值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

当 $x=0$ 时，不等式即 $3⩾0$，恒成立，对 $a$ 无限制。 当 $x\in (0,1]$ 时，$x^3>0$，原不等式等价于 $a⩾\frac{x^2-4x-3}{x^3}$。 记 $g(x)=\frac{x^2-4x-3}{x^3}$，则 $g\acute{(}x)=\frac{(2x-4)x^3-(x^2-4x-3)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{-x^2+8x+9}{x^4}=\frac{-(x-9)(x+1)}{x^4}$。 当 $x\in (0,1]$ 时，$x-9<0$，$x+1>0$，故 $g\acute{(}x)>0$，$g$ 单调递增，于是 $g(x)⩽g(1)=-6$。 所以此时需 $a⩾-6$。 当 $x\in [-2,0)$ 时，$x^3<0$，原不等式等价于 $a⩽\frac{x^2-4x-3}{x^3}=g(x)$。 由 $g\acute{(}x)=\frac{-(x-9)(x+1)}{x^4}$ 知：$x\in [-2,-1)$ 时 $g\acute{(}x)<0$，$x\in (-1,0)$ 时 $g\acute{(}x)>0$， 故 $g$ 在 $[-2,-1]$ 上递减、在 $[-1,0)$ 上递增，最小值 $g(-1)=\frac{1+4-3}{-1}=-2$。 所以此时需 $a⩽-2$。 综上，$-6⩽a⩽-2$，即 $a\in [-6,-2]$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式恒成立求参数范围

2. 核心方法：参变分离 + 导数求最值

3. 避坑指南：$x$ 的正负会改变不等号方向：$x>0$ 时得 $a⩾g(x)$ 取最大值，$x<0$ 时得 $a⩽g(x)$ 取最小值，两侧合起来才是 $[-6,-2]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 含参数不等式恒成立问题。

2. 结论推广: 把 $a$ 分离到一侧得 $a⩾g(x)$（或 $a⩽g(x)$），转化为求 $g$ 在区间上的最值。

3. 方法推广: 参变分离后，$g(x)=\frac{x^2-4x-3}{x^3}$ 的单调性由导数 $g\acute{(}x)=\frac{-(x-9)(x+1)}{x^4}$ 的符号决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 20.18 恒成立问题——参变分离法

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-11 单-导数单调性与极值
• 2014-北京卷理-18 解-导数单调性