2014-北京卷理-20 解-新定义问题

本题导读

本题是一道极具综合性的新定义压轴题，背景源于运筹学中的流水作业调度问题。通过定义特定的递推求和规则，考查学生对复杂逻辑结构的理解、不等式比较以及组合优化寻找最优序列的能力。

📌【题干】

Question

（2014年北京卷(理)）对于数对序列 $P : (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}), \dots, (a_{n}, b_{n})$ ，记 $T_{1} (P) = a_{1} + b_{1}$ ， $T_{k} (P) = b_{k} + max {T_{k - 1} (P), a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}}$ ( $2 \leq k \leq n$ ).

(1) 对于数对序列 $P : (2, 5), (4, 1)$ ，求 $T_{1} (P), T_{2} (P)$ 的值；

(2) 记 $m$ 为 $a, b, c, d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对 $(a, b), (c, d)$ 组成的数对序列 $P : (a, b), (c, d)$ 和 $P^{'} : (c, d), (a, b)$ ，试分别对 $m = a$ 和 $m = d$ 两种情况比较 $T_{2} (P)$ 和 $T_{2} (P^{'})$ 的大小；

(3) 在由五个数对 $(11, 8), (5, 2), (16, 11), (11, 11), (4, 6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 $P$ 使 $T_{5} (P)$ 最小，并写出 $T_{5} (P)$ 的值（只需写出结论）.

🔍【思路分析】

破题导航

第一问分析：直接代入递推定义式计算。 $T_{1}$ 仅取决于第一个数对，而 $T_{2}$ 需要比较前一项结果与前两项 $a$ 之和。

第二问分析：

首先写出 $T_{2} (P)$ 和 $T_{2} (P^{'})$ 的展开式：

$T_{2} (P) = b_{2} + max {a_{1} + b_{1}, a_{1} + a_{2}} = a_{1} + b_{2} + max {b_{1}, a_{2}}$ ；

同理 $T_{2} (P^{'}) = c + d + max {d, a}$ （针对不同序列）。

根据 $m = a$ 或 $m = d$ 进行代数式放缩，利用 $max$ 函数的单调性进行比较。

第三问分析：此题背景为“流水作业调度问题”。

Johnson法则：要使总时间最小，应尽量让 $a$ 较小的排在前面， $b$ 较小的排在后面。

具体操作：对比每个数对的 $a_{i}$ 和 $b_{i}$ 。若 $a_{i} < b_{i}$ ，按 $a_{i}$ 升序排在前面；若 $a_{i} \geq b_{i}$ ，按 $b_{i}$ 降序排在后面。

✅【答案】

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(1) 计算数值；(2)分类讨论比较；当 $m = a$ 时；当 $m = d$ 时

✍【详细解析】

Abstract

(1) 计算数值

由题意， $P : (2, 5), (4, 1)$ 。

$T_{1} (P) = a_{1} + b_{1} = 2 + 5 = 7$ 。

$T_{2} (P) = b_{2} + max {T_{1} (P), a_{1} + a_{2}} = 1 + max {7, 2 + 4} = 1 + max {7, 6} = 8$ 。

(2) 分类讨论比较

由定义得：

$T_{2} (P) = d + max {a + b, a + c} = a + d + max {b, c}$ ；

$T_{2} (P^{'}) = b + max {c + d, c + a} = c + b + max {d, a}$ 。

当 $m = a$ 时， $a$ 是最小数。

$T_{2} (P^{'}) = c + b + max {d, a} = c + b + d$ 。

而 $T_{2} (P) = a + d + max {b, c}$ 。

若 $b \leq c$ ，则 $T_{2} (P) = a + d + c \leq c + b + d$ （因为 $a \leq b$ ）；

若 $b > c$ ，则 $T_{2} (P) = a + d + b \leq c + b + d$ （因为 $a \leq c$ ）。

故当 $m = a$ 时， $T_{2} (P) \leq T_{2} (P^{'})$ 。

当 $m = d$ 时， $d$ 是最小数。

$T_{2} (P) = a + d + max {b, c} = a + d + max {b, c}$ 。

$T_{2} (P^{'}) = c + b + max {d, a} = c + b + a$ 。

若 $b \leq c$ ，则 $T_{2} (P) = a + d + c \leq c + b + a$ （因为 $d \leq b$ ）；

若 $b > c$ ，则 $T_{2} (P) = a + d + b \leq c + b + a$ （因为 $d \leq c$ ）。

故当 $m = d$ 时， $T_{2} (P) \leq T_{2} (P^{'})$ 。

综上，无论 $m = a$ 或 $m = d$ ，都有 $T_{2} (P) \leq T_{2} (P^{'})$ 。

(3) 寻找最优序列

应用 Johnson 准则：

比较各数对 $(a, b)$ ：

$(4, 6)$ : $a < b$ ，作为候选前部。

$(11, 11)$ : $a = b$ ，中间过渡。

$(16, 11), (11, 8), (5, 2)$ : $a > b$ ，作为候选后部。

排序规则：

前部（ $a < b$ ）：按 $a$ 从小到大排： $(4, 6)$ 。

后部（ $a \geq b$ ）：按 $b$ 从大到小排： $(11, 11), (16, 11), (11, 8), (5, 2)$ 。

组合得到最优序列 $P : (4, 6), (11, 11), (16, 11), (11, 8), (5, 2)$ 。

计算 $T_{5} (P)$ ：

$T_{1} = 4 + 6 = 10$ ；

$T_{2} = 11 + max {10, 4 + 11} = 11 + 15 = 26$ ；

$T_{3} = 11 + max {26, 4 + 11 + 16} = 11 + 31 = 42$ ；

$T_{4} = 8 + max {42, 31 + 11} = 8 + 42 = 50$ ；

$T_{5} = 2 + max {50, 42 + 5} = 2 + 50 = 52$ 。

故 $T_{5} (P)$ 的最小值为 $52$ 。

（注：满足条件的序列可能不唯一，如 $(4, 6), (16, 11), (11, 11), (11, 8), (5, 2)$ 等，只要符合排序逻辑即可）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义递推求和与组合最优化。

核心方法：代入递推计算，分类比较 $T_{2}$ ，用 Johnson 法则排序求最小 $T_{5}$ 。

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 流水作业调度问题与 Johnson 法则。

结论推广: $a_{i} < b_{i}$ 按 $a_{i}$ 升序在前， $a_{i} \geq b_{i}$ 按 $b_{i}$ 降序在后使总时间最小。

方法推广: 新定义题先读懂递推规则再分步计算与优化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

2014-四川卷文-15 填-新定义真命题

2013-四川卷理-07 单-定义域

2026-新高考I卷-19 解-新定义函数

∑ ( Math )

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2014-北京卷理-20 解-新定义问题

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