2015-四川卷理-04 单-三角函数周期

本题导读

本题考查三角函数的周期性与奇偶性。题目给出了两个限制条件：最小正周期为 $\pi$ 且图象关于原点对称（即为奇函数）。通过对选项逐一化简与判定，筛选出符合条件的项。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 下列函数中，最小正周期为 $\pi$ 且图象关于原点对称的函数是 ()

A. $y=\cos (2x+\frac{\pi }{2})$　　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\sin (2x+\frac{\pi }{2})$

C. $y=\sin 2x+\cos 2x$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $y=\sin x+\cos x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析第一个条件：最小正周期为 $\pi$：
   • 对于 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 或 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$，周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
     • 若 $T=\pi$，则 $|\omega |=2$。由此可初步排除选项 (D)（其 $\omega =1,T=2\pi$）。
2. 分析第二个条件：图象关于原点对称：
   • “关于原点对称”意味着函数必须是奇函数。
     • 判断奇偶性：利用诱导公式化简或代入 $f(-x)$ 检验。
3. 逐项筛选：
   • (A)：利用诱导公式 $\cos (\alpha +\frac{\pi }{2})=-\sin \alpha$ 化简，判定其奇偶性。
   • (B)：利用诱导公式 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})=\cos \alpha$ 化简。
   • (C)：利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：排除周期不符的选项 选项 (D) 中，$y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$，其周期 $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi \ne \pi$，排除。

第二步：判定剩余选项的奇偶性

• 针对选项 (A)： $y=\cos (2x+\frac{\pi }{2})=-\sin 2x$。 因为 $f(-x)=-\sin (-2x)=\sin 2x=-f(x)$，所以该函数是奇函数，图象关于原点对称。 其周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。符合题意。

• 针对选项 (B)： $y=\sin (2x+\frac{\pi }{2})=\cos 2x$。 该函数是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，排除。

• 针对选项 (C)： $y=\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})$。 该函数既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶），排除。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$；三角函数诱导公式；奇函数定义 $f(-x)=-f(x)$。
• 核心方法：排除法。在选择题中，优先利用明显的特征（如周期或特殊的奇偶性点）排除错误项，能显著提高解题效率。
• 避坑指南：诱导公式容易记混，建议通过“奇变偶不变，符号看象限”来准确转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 函数 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 为奇函数的充要条件是 $\varphi =k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)；为偶函数的充要条件是 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

• 相关知识点：辅助角公式、对称轴与对称中心。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2016-四川卷文-4
• 2007-四川卷理-04 单-因式分解代数变形
• 2014-四川卷理-16 解-正弦函数的单调性