2014-大纲卷理-03 单-正弦函数的单调性

本题导读

本题考查不同三角函数值的大小比较。核心思路是利用诱导公式将不同名的三角函数统一为同名函数，再利用三角函数在第一象限的单调性进行比较。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 设 $a=\sin 33^{\circ }$，$b=\cos 55^{\circ }$，$c=\tan 35^{\circ }$，则()

A. $a>b>c$　　B. $b>c>a$　　C. $c>b>a$　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

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1. 统一函数名：利用诱导公式 $\cos (90^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$，将 $b$ 转化为正弦函数值。

2. 比较 $a$ 与 $b$：利用正弦函数 $y=\sin x$ 在 $[0,90^{\circ }]$ 上的单调递增性。

3. 比较 $b$ 与 $c$：利用正切函数的定义 $c=\tan 35^{\circ }=\frac{\sin 35^{\circ }}{\cos 35^{\circ }}$，通过观察分母 $\cos 35^{\circ }$ 与 $1$ 的关系得出结论。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简 $b$

利用诱导公式：

$b=\cos 55^{\circ }=\cos (90^{\circ }-35^{\circ })=\sin 35^{\circ }$

第二步：比较 $a$ 与 $b$

因为正弦函数 $y=\sin x$ 在 $[0^{\circ },90^{\circ }]$ 上是单调递增的，且 $33^{\circ }<35^{\circ }$，

所以 $\sin 33^{\circ }<\sin 35^{\circ }$，即 $a<b$。

第三步：比较 $b$ 与 $c$

由于 $c=\tan 35^{\circ }=\frac{\sin 35^{\circ }}{\cos 35^{\circ }}$，

在第一象限中，$0<\cos 35^{\circ }<1$，

所以 $\frac{\sin 35^{\circ }}{\cos 35^{\circ }}>\sin 35^{\circ }$，即 $c>b$。

（另一种思路：在第一象限内，当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时，$\tan x>\sin x$ 恒成立）

结论：综合上述分析可得 $c>b>a$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数单调性是比较大小的根基；诱导公式是转化的桥梁。

2. 核心方法：“化同名，看单调”。通常优先统一为正弦函数，因为其单调性最符合直觉。

3. 避坑指南：注意 $\tan x$ 的增长速度。在 $0^{\circ }$ 到 $45^{\circ }$ 之间，$\tan x$ 略大于 $\sin x$；在 $45^{\circ }$ 处 $\tan 45^{\circ }=1$ 远大于 $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 单位圆中的三角函数线（正弦线、正切线）对比，能更直观地看到 $c>b$ 的几何关系。

2. 结论推广: 在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内，$\sin x<x<\tan x$。

3. 方法推广: 比较三角函数大小时，若角度不在同一象限，先利用周期性和诱导公式转到第一象限再比较。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-21 解-正弦函数的单调性
• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2013-四川卷理-10 单-单调性