2014-广东卷文-07 单-充要条件

本题导读

三角形中大边对大角，且 $\sin$ 在 $(0,\pi )$ 上不单调——用正弦定理 $a=2R\sin A$ 转化为等价比较。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对应的边分别为 $a$，$b$，$c$，则"$a⩽b$"是"$\sin A⩽\sin B$"的()

A. 充分必要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件　　　　　　　　　　　　D. 非充分非必要条件

🔍【思路分析】

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由 $a=2R\sin A$，"$a⩽b$"与"$\sin A⩽\sin B$"完全等价。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设三角形外接圆半径为 $R$，由正弦定理 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$。故 $a⩽b⟺2R\sin A⩽2R\sin B⟺\sin A⩽\sin B$，两条件互为充要条件。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件的判定

2. 核心方法：正弦定理转化

3. 避坑指南：$\sin x$ 在 $(0,\pi )$ 上不单调，不能直接说"$\sin A⩽\sin B\Rightarrow A⩽B$"——但借助外接圆半径 $a=2R\sin A$ 立即得到等价性，绕开单调性陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 逻辑与解三角形结合：三角形中”大边对大角”与正弦定理是等价转化的桥梁。

2. 结论推广: 推广：$a<b⟺A<B⟺\sin A<\sin B$（三角形内），这一链式等价在比较边角时通用。

3. 方法推广: 充要条件题先找双向推理的桥梁（本题是正弦定理），分别验证两个方向。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理
• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积