2014-山东卷文-01 单-复数相等与乘方

本题导读

$a=2$、$b=-1$，$(a+bi{)}^2=(2-i{)}^2=3-4i$，选 A。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 已知 $a$，$b\in \mathbf{R}$，i 是虚数单位，若 $a+i=2-bi$，则 $(a+bi{)}^2=$ ()

A. $3-4i$　　　　　B. $3+4i$　　　　　C. $4-3i$　　　　　D. $4+3i$

🔍【思路分析】

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$a=2$、$b=-1$，$(a+bi{)}^2=(2-i{)}^2=3-4i$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由复数相等：实部 $a=2$，虚部 $1=-b$，故 $b=-1$。

$(a+bi{)}^2=(2-i{)}^2=4-4i+i^2=4-4i-1=3-4i$。

选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数相等（实部虚部分别相等）；复数的平方

2. 核心方法：先定参再代入，$(2-i{)}^2=4-4i+i^2$ 别忘 $i^2=-1$

3. 避坑指南：①由 $a+i=2-bi$ 得 $b=-1$（虚部 $1=-b$），别写成 $b=1$；②完全平方展开后 $i^2=-1$ 使实部变 3、虚部是 $-4$，符号都在 $-4i$ 上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数运算基础题，与 2014 年北京卷文第 9 题、1992 年全国卷理第 24 题同章。

2. 结论推广: 一般地，复数相等 ⟺ 实部与虚部分别相等；$(a-bi{)}^2=a^2-2abi-b^2$，虚部符号由中间项决定。

3. 方法推广: 含参复数题两步走：先用相等条件定参数，再代入目标式做代数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-09 填-复数运算
• 1992-全国卷理-24