2014-山东卷理-07 单-频率分布直方图

本题导读

本题考查频率分布直方图的基本应用。核心在于通过直方图面积确定各组频率，并利用已知频数求出样本容量，进而求出目标组的频数。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：$kPa$）的分组区间为 $[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]$，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 $20$ 人，第三组中没有疗效的有 $6$ 人，则第三组中有疗效的人数为()

A. $6$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $12$　　　　　　　D. $18$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解直方图纵轴含义：直方图纵轴为“频率/组距”。由于本题组距 $d=1$，故矩形的高度直接等于该组的频率。
2. 计算已知组频率和样本容量：
   • 第一组频率 $P_1=0.24$，第二组频率 $P_2=0.16$。
   • 利用“样本容量 $n=\text{频数}/\text{频率}$”求出总人数。
3. 计算第三组总人数：
   • 从图中读出第三组频率 $P_3=0.36$。
   • 利用“频数 = 样本容量 × 频率”求出第三组的总人数。
4. 求目标人数：用第三组总人数减去没有疗效的人数。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定频率关系 由频率分布直方图可知：

• 第一组 $[12,13)$ 的频率 $P_1=0.24\times 1=0.24$；
• 第二组 $[13,14)$ 的频率 $P_2=0.16\times 1=0.16$。 所以前两组的频率之和为 $0.24+0.16=0.40$。

第二步：求样本容量（总人数） 已知第一组与第二组共有 $20$ 人，则总人数 $n$ 为： $n=\frac{20}{0.4}=50（\text{人}）$

第三步：计算第三组频数 由图可知，第三组 $[14,15)$ 的频率 $P_3=0.36\times 1=0.36$。 则第三组的总人数为： $50\times 0.36=18（\text{人}）$

第四步：得出最终结果 第三组中没有疗效的有 $6$ 人， 所以第三组中有疗效的人数为 $18-6=12$（人）。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中，小矩形的面积代表频率。

2. 核心方法：牢记统计学基本公式：$\text{频率}=\frac{\text{频数}}{\text{样本容量}}$。

3. 避坑指南：注意观察组距是否为 $1$。如果组距不为 $1$，必须用纵轴数值乘以组距才能得到频率。本题中 $13-12=1$，故数值即频率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 众数（最高矩形中点）、中位数（面积平分线）、平均数（各矩形面积乘以中点值之和）。

2. 结论推广: 所有矩形的面积之和恒等于 $1$。

3. 方法推广: 频率分布直方图常与分层抽样、概率分布列等知识点结合考查。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2015-广东卷文-17 解-频率分布直方图
• 2014-重庆卷文-17 解-频率分布直方图